Kogu mehaaniline energia ee määratakse vormi väljenduse järgi. Mehaaniline energia ja selle liigid

Mehaanikas on kahte tüüpi energiat: kineetiline ja potentsiaalne. Kineetiline energia nimetada mis tahes vabalt liikuva keha mehaanilist energiat ja mõõta seda tööga, mida keha saaks teha, kui ta aeglustub kuni täieliku peatumiseni.
Laske kehal IN, liigub kiirusega v, hakkab suhtlema teise kehaga KOOS ja samal ajal aeglustub. Seetõttu keha IN mõjutab keha KOOS mingi jõuga F ja raja algosas ds töötab küll

Newtoni kolmanda seaduse järgi mõjub kehale B samaaegselt jõud -F, mille puutuja komponent -F τ põhjustab muutuse keha kiiruse arvväärtuses. Newtoni teise seaduse järgi

Seega

Töö, mida keha teeb kuni täieliku seiskumiseni, on:

Seega on translatsiooniliselt liikuva keha kineetiline energia võrdne poolega selle keha massist selle kiiruse ruuduga:

(3.7)

Valemist (3.7) on selge, et keha kineetiline energia ei saa olla negatiivne ( Ek ≥ 0).
Kui süsteem koosneb n järk-järgult liikuvaid kehasid, siis selle peatamiseks on vaja kõiki neid kehasid pidurdada. Seetõttu on mehaanilise süsteemi kogu kineetiline energia võrdne kõigi selles sisalduvate kehade kineetiliste energiate summaga:

(3.8)

Valemist (3.8) on selge, et E k sõltub ainult sellesse kuuluvate kehade masside ja liikumiskiiruste suurusest. Sel juhul ei ole oluline, kuidas kehamass m i sai kiirust juurde ν i. Teisisõnu, süsteemi kineetiline energia sõltub selle liikumisolekust.
Kiirused ν i sõltuvad oluliselt võrdlussüsteemi valikust. Valemite (3.7) ja (3.8) tuletamisel eeldati, et liikumist vaadeldakse inertsiaalses võrdlusraamis, kuna muidu ei saaks Newtoni seadusi kasutada. Erinevates üksteise suhtes liikuvates inertsiaalsetes referentssüsteemides aga kiirus ν i i süsteemi keha ja järelikult ka selle Eki ja kogu süsteemi kineetiline energia ei ole sama. Seega sõltub süsteemi kineetiline energia võrdlusraami valikust, s.o. on kogus sugulane.
Potentsiaalne energia- See mehaaniline energia kehade süsteem, mille määrab nende vastastikune paigutus ja nendevaheliste vastasmõjujõudude olemus.
Numbriliselt võrdub süsteemi potentsiaalne energia antud asendis tööga, mida teevad süsteemile mõjuvad jõud süsteemi liigutamisel sellest asendist asendisse, kus potentsiaalne energia on tavapäraselt null. E n= 0). Mõiste “potentsiaalne energia” kehtib ainult konservatiivsete süsteemide kohta, s.o. süsteemid, mis töötavad aktiivsed jõud sõltub ainult süsteemi alg- ja lõppasendist. Niisiis, koorma kaalumiseks P, tõstetud kõrgusele h, on potentsiaalne energia võrdne En = Ph (E n= 0 at h= 0); vedru külge kinnitatud koorma puhul, E n = kΔl 2/2, Kus Δl- vedru pikenemine (kokkusurumine), k- selle jäikuse koefitsient ( E n= 0 at l= 0); kahe massiga osakese jaoks m 1 Ja m 2, mida köidab universaalse gravitatsiooni seadus, , Kus γ - gravitatsioonikonstant, r- osakeste vaheline kaugus ( E n= 0 at r → ∞).
Vaatleme Maa süsteemi – massilise keha – potentsiaalset energiat m, tõstetud kõrgusele h Maa pinna kohal. Sellise süsteemi potentsiaalse energia vähenemist mõõdetakse gravitatsioonijõudude tööga, mis tehakse keha vabalangemisel Maale. Kui keha kukub vertikaalselt, siis

Kus E nr– süsteemi potentsiaalne energia juures h= 0 (märk "-" näitab, et töö on tehtud potentsiaalse energia kadumise tõttu).
Kui sama keha langeb kaldpikkusega alla l ja kaldenurgaga α vertikaali suhtes ( lcosα = h), siis on gravitatsioonijõudude tehtud töö võrdne eelmise väärtusega:

Kui lõpuks liigub keha mööda suvalist kõverjoonelist trajektoori, siis võime ette kujutada, et see kõver koosneb n väikesed sirged lõigud Δl i. Töö, mida gravitatsioonijõud teeb igale sellisele lõigule, on võrdne

Kogu kõverjoonelise raja ulatuses on gravitatsioonijõudude töö ilmselt võrdne:

Seega sõltub gravitatsioonijõudude töö ainult tee algus- ja lõpp-punktide kõrguste erinevusest.
Seega on kehal potentsiaalses (konservatiivses) jõudude väljas potentsiaalne energia. Süsteemi konfiguratsiooni lõpmatult väikese muutuse korral on konservatiivsete jõudude töö võrdne miinusmärgiga võetud potentsiaalse energia suurenemisega, kuna töö tehakse potentsiaalse energia vähenemise tõttu:

Töö omakorda dA väljendatakse jõu punktkorrutisena F liikuma dr, seega saab viimase avaldise kirjutada järgmiselt:

(3.9)

Seega, kui funktsioon on teada E n(r), siis avaldisest (3.9) võib leida jõu F mooduli ja suuna järgi.
Konservatiivsete jõudude jaoks

Või vektorkujul

Kus

(3.10)

Avaldisega (3.10) defineeritud vektorit kutsutakse skalaarfunktsiooni P gradient; i, j, k- koordinaattelgede ühikvektorid (orts).
Spetsiifiline funktsiooni tüüp P(meie puhul E n) sõltub jõuvälja olemusest (gravitatsiooniline, elektrostaatiline jne), nagu eespool näidatud.
Kogu mehaaniline energia W süsteem on võrdne selle kineetilise ja potentsiaalse energia summaga:

Süsteemi potentsiaalse energia määratlusest ja vaadeldavatest näidetest on selge, et see energia, nagu ka kineetiline energia, on süsteemi oleku funktsioon: see sõltub ainult süsteemi konfiguratsioonist ja selle asendist suhetes. välistele kehadele. Järelikult on ka süsteemi mehaaniline koguenergia funktsioon süsteemi seisundist, s.t. sõltub ainult kõigi kehade asukohast ja kiirustest süsteemis.

1. Mõelge keha vaba langemisele teatud kõrguselt h Maa pinna suhtes (joon. 77). Punktis A keha on liikumatu, seetõttu on tal ainult potentsiaalne energia.Punktis B kõrgel h 1 kehal on nii potentsiaalne energia kui ka kineetiline energia, kuna kehal on selles punktis teatud kiirus v 1 . Maa pinna puudutamise hetkel on keha potentsiaalne energia null, sellel on ainult kineetiline energia.

Seega väheneb keha kukkumise ajal selle potentsiaalne energia ja suureneb kineetiline energia.

Kogu mehaaniline energia E nimetatakse potentsiaalsete ja kineetilise energia summaks.

E = E n + E To.

2. Näitame, et kehade süsteemi mehaaniline koguenergia on säilinud. Vaatleme veel kord keha langemist Maa pinnale punktist A täpselt C(vt joonis 78). Eeldame, et keha ja Maa kujutavad endast suletud kehade süsteemi, milles toimivad ainult konservatiivsed jõud sel juhul gravitatsiooni.

Punktis A keha mehaaniline koguenergia on võrdne tema potentsiaalse energiaga

E = E n = mgh.

Punktis B keha mehaaniline koguenergia on võrdne

E = E p1 + E k1.
E n1 = mgh 1 , E k1 = .

Siis

E = mgh 1 + .

Keha kiirus v 1 võib leida kinemaatika valemi abil. Kuna keha liikumine punktist A täpselt B võrdub

s = h – h 1 = , siis = 2 g(h – h 1).

Asendades selle avaldise kogu mehaanilise energia valemis, saame

E = mgh 1 + mg(h – h 1) = mgh.

Seega punktis B

E = mgh.

Maa pinna puudutamise hetkel (punkt C) kehal on ainult kineetiline energia, seega kogu mehaaniline energia

E = E k2 = .

Keha kiirust selles punktis saab leida valemiga = 2 gh, võttes arvesse, et keha algkiirus on null. Pärast kiiruse avaldise asendamist kogu mehaanilise energia valemiga saame E = mgh.

Nii saime, et trajektoori kolmes vaadeldavas punktis on keha kogu mehaaniline energia võrdne sama väärtusega: E = mgh. Sama tulemuseni jõuame keha trajektoori teisi punkte arvestades.

Suletud kehade süsteemi mehaaniline koguenergia, milles toimivad ainult konservatiivsed jõud, jääb süsteemi kehade mis tahes interaktsiooni ajal muutumatuks.

See väide on mehaanilise energia jäävuse seadus.

3. Reaalsetes süsteemides toimivad hõõrdejõud. Seega, kui keha langeb vaadeldavas näites vabalt (vt joonis 78), siis mõjub õhutakistuse jõud, seega potentsiaalne energia punktis. A rohkem mehaanilist koguenergiat ühes punktis B ja punktis Cõhutakistuse jõuga tehtud töö hulga järgi: D E = A. Sel juhul energia ei kao, osa mehaanilisest energiast muundatakse keha ja õhu siseenergiaks.

4. Nagu juba 7. klassi füüsikakursusest teada, kasutatakse inimtöö hõlbustamiseks erinevaid masinaid ja mehhanisme, mis omades energiat teevad mehaanilist tööd. Selliste mehhanismide hulka kuuluvad näiteks hoovad, plokid, kraanad jne. Töö tegemisel muundub energia.

Seega iseloomustab iga masinat suurus, mis näitab, milline osa sellele ülekantud energiast on kasulikult kasutatud või milline osa täiuslikust (kogu)tööst on kasulik. Seda kogust nimetatakse tõhusust(efektiivsus).

Kasutegur h on suhtega võrdne väärtus kasulikku tööd A n täistööle A.

Tõhusust väljendatakse tavaliselt protsentides.

h = 100%.

5. Näide probleemi lahendamisest

Liikumatult rippuvast kopterist eraldus 70 kg kaaluv langevarjur, kes oli lennanud 150 m enne langevarju avanemist, saavutas kiiruseks 40 m/s. Millist tööd teeb õhutakistus?

ikaalenergia antud kõrgusel on null. Olles lennanud vahemaa s= h, omandas langevarjur kineetilise energia ja tema potentsiaalne energia sellel tasemel muutus nulliks. Seega on teises asendis langevarjuri mehaaniline koguenergia võrdne tema kineetilise energiaga:

E = E k = .

Langevarjuhüppaja potentsiaalne energia E n kopterist eraldatuna ei võrdu kineetikaga E k, kuna õhutakistusjõud töötab. Seega

A = E Kellele - E P;

A =– mgh.

A=– 70 kg 10 m/s 2150 m = –16 100 J.

Tööl on miinusmärk, kuna see võrdub kogu mehaanilise energia kaoga.

Vastus: A= –16 100 J.

Enesetesti küsimused

1. Mida nimetatakse mehaaniliseks koguenergiaks?

2. Sõnasta mehaanilise energia jäävuse seadus.

3. Kas mehaanilise energia jäävuse seadus on täidetud, kui süsteemi kehadele mõjub hõõrdejõud? Selgitage oma vastust.

4. Mida näitab efektiivsus?

Ülesanne 21

1. Pall massiga 0,5 kg visatakse vertikaalselt ülespoole kiirusega 10 m/s. Mis on palli potentsiaalne energia selle kõrgeimas punktis?

2. 60 kg kaaluv sportlane hüppab 10-meetriselt platvormilt vette. Mis on võrdne: sportlase potentsiaalne energia veepinna suhtes enne hüpet; selle kineetiline energia vette sisenemisel; selle potentsiaalne ja kineetiline energia 5 m kõrgusel veepinna suhtes? Jäta tähelepanuta õhutakistus.

3. Määrake 1 m kõrguse ja 2 m pikkuse kaldtasandi efektiivsus, kui seda mööda liigub 4 kg kaaluv koormus 40 N jõu mõjul.

1. peatüki esiletõstmised

1. Mehaanilise liikumise tüübid.

2. Põhilised kinemaatilised suurused (tabel 2).

tabel 2

3. Põhilised liikumisvõrrandid (tabel 3).

Tabel 3

4. Põhilised liiklusgraafikud.

Tabel 4

5. Dünaamilised põhisuurused.

Tabel 5

6. Mehaanika põhiseadused

Tabel 6

7. Jõud mehaanikas.

8. Põhienergia kogused.

Tabel 7

Sõna "energia" pärineb kreeka keelest ja selle tähendus on "tegevus", "tegevus". Seda mõistet tutvustas esmakordselt inglise füüsik 19. sajandi alguses. "Energia" all peame silmas seda omadust omava keha võimet tööd teha. Keha suudab teha rohkem tööd, seda rohkem on tal energiat. Seda on mitut tüüpi: sise-, elektri-, tuuma- ja mehaaniline energia. Viimane on meil rohkem levinud Igapäevane elu. Juba iidsetest aegadest on inimene õppinud seda oma vajadustega kohandama, muutes selle erinevate seadmete ja konstruktsioonide abil mehaaniliseks tööks. Samuti saame muuta üht tüüpi energiat teiseks.

Mehaanika raames (üks mehaaniline energia on füüsikaline suurus, mis iseloomustab süsteemi (keha) võimet teha mehaanilist tööd. Seetõttu on seda tüüpi energia olemasolu indikaatoriks teatud kiiruse olemasolu. keha liikumine, mille olemasolul saab ta tööd teha.

Mehaaniliste seadmete tüübid Kineetiline energia on igal juhul skalaarne suurus, mis koosneb kõigi konkreetse süsteemi moodustavate materiaalsete punktide kineetiliste energiate summast. Kusjuures üksiku keha (kehade süsteemi) potentsiaalne energia sõltub selle (nende) osade suhtelisest asendist välise jõuvälja raamistikus. Potentsiaalse energia muutust mõõdetakse tehtud tööga.

Kehal on kineetiline energia, kui ta on liikumises (seda võib muidu nimetada liikumisenergiaks), ja potentsiaalne energia, kui see on tõstetud maapinnast mingile kõrgusele (see on vastasmõju energia). Mehaanilist energiat (nagu ka muud tüüpi) mõõdetakse džaulides (J).

Keha energia leidmiseks peate leidma töö, mis kulub selle keha nullseisundist praegusesse olekusse viimiseks (kui keha energia on võrdne nulliga). Järgnevad on valemid, mille järgi saab määrata mehaanilist energiat ja selle liike:

kineetiline - Ek=mV 2/2;

Potentsiaal - Ep = mgh.

Valemites: m on keha mass, V on selle kiirus, g on langemise kiirendus, h on kõrgus, milleni keha on maapinnast kõrgemale tõstetud.

Kehade süsteemi leidmine hõlmab selle potentsiaalsete ja kineetiliste komponentide summa tuvastamist.

Näited selle kohta, kuidas inimene saab mehaanilist energiat kasutada, on need, mis leiutati aastal iidsed ajad tööriistad (nuga, oda jne) ja kõige rohkem kaasaegne kell, lennukid, muud mehhanismid. Seda tüüpi energia ja sellega tehtava töö allikateks võivad olla loodusjõud (tuul, jõgede merehoovused) ning inimeste või loomade füüsilised pingutused.

Tänapäeval alluvad süsteemid (näiteks pöörleva võlli energia) väga sageli tootmise käigus hilisemale transformatsioonile elektrienergia, mille jaoks kasutatakse voolugeneraatoreid. On välja töötatud palju seadmeid (mootoreid), mis on võimelised pidevalt muutma töövedeliku potentsiaali mehaaniliseks energiaks.

Selle jäävuse kohta kehtib füüsikaline seadus, mille kohaselt kehade suletud süsteemis, kus hõõrde- ja takistusjõud ei toimi, on konstantseks väärtuseks selle mõlema tüübi (Ek ja Ep) kogusumma. moodustavaid organeid. Selline süsteem on ideaalne, kuid tegelikkuses pole selliseid tingimusi võimalik saavutada.

Selle artikli eesmärk on paljastada mõiste "mehaaniline energia" olemus. Füüsika kasutab seda mõistet laialdaselt nii praktiliselt kui ka teoreetiliselt.

Töö ja energia

Mehaanilist tööd saab määrata, kui on teada kehale mõjuv jõud ja keha nihe. Mehaanilise töö arvutamiseks on veel üks viis. Vaatame näidet:

Joonisel on kujutatud keha, mis võib olla erinevates mehaanilistes olekutes (I ja II). Keha ülemineku protsessi olekust I olekusse II iseloomustab mehaaniline töö, see tähendab, et üleminekul olekust I olekusse II saab keha tööd teha. Töö tegemisel muutub keha mehaaniline seisund ning mehaanilist seisundit saab iseloomustada ühe füüsikalise suuruse - energiaga.

Energia on aine kõikide liikumisvormide ja nende vastasmõju võimaluste skalaarne füüsikaline suurus.

Millega võrdub mehaaniline energia?

Mehaaniline energia on skalaarne füüsikaline suurus, mis määrab keha töövõime.

A = ∆E

Kuna energia on süsteemi oleku tunnus teatud ajahetkel, siis töö on süsteemi oleku muutumise protsessi tunnus.

Energial ja tööl on samad mõõtühikud: [A] = [E] = 1 J.

Mehaanilise energia liigid

Mehaaniline vaba energia jaguneb kahte tüüpi: kineetiline ja potentsiaalne.

Kineetiline energia on keha mehaaniline energia, mille määrab selle liikumiskiirus.

E k = 1/2 mv 2

Kineetiline energia on liikuvatele kehadele omane. Kui nad peatuvad, teevad nad mehaanilist tööd.

Erinevates võrdlussüsteemides võivad sama keha kiirused suvalisel ajahetkel olla erinevad. Seetõttu on kineetiline energia suhteline suurus, selle määrab võrdlussüsteemi valik.

Kui kehale mõjub liikumisel jõud (või mitu jõudu korraga), muutub keha kineetiline energia: keha kiireneb või peatub. Sel juhul on jõu töö või kõigi kehale rakendatavate jõudude resultandi töö võrdne kineetiliste energiate erinevusega:

A = E k1 - E k 2 = ∆E k

Sellele väitele ja valemile anti nimi - kineetilise energia teoreem.

Potentsiaalne energia nimetage kehade vastastikusest mõjust põhjustatud energiat.

Kui keha kaalub m kõrgelt h gravitatsioonijõud teeb töö. Kuna töö ja energia muutumine on seotud võrrandiga, saame kirjutada gravitatsiooniväljas oleva keha potentsiaalse energia valemi:

Ep = mgh

Erinevalt kineetilisest energiast E k potentsiaal E lk võib olla negatiivne väärtus, kui h<0 (näiteks kaevu põhjas lebav keha).

Teine mehaanilise potentsiaalse energia tüüp on deformatsioonienergia. Kauguseni kokku surutud x vedru jäikusega k omab potentsiaalset energiat (pingeenergia):

E p = 1/2 kx 2

Deformatsioonienergia on leidnud laialdast rakendust praktikas (mänguasjad), tehnoloogias - automaatsed masinad, releed ja muud.

E = E p + E k

Kogu mehaaniline energia kehad nimetavad energiate summat: kineetiline ja potentsiaalne.

Mehaanilise energia jäävuse seadus

Mõned kõige täpsemad katsed, mille 19. sajandi keskel tegid inglise füüsik Joule ja saksa füüsik Mayer, näitasid, et energia hulk suletud süsteemides jääb muutumatuks. See liigub ainult ühest kehast teise. Need uuringud aitasid avastada energia jäävuse seadus:

Eraldatud kehade süsteemi mehaaniline koguenergia jääb kehade omavahelise interaktsiooni ajal konstantseks.

Erinevalt impulsist, millel pole samaväärset vormi, on energial palju vorme: mehaaniline, termiline, molekulaarse liikumise energia, elektrienergia koos laengu vastasmõju jõududega ja muud. Üks energiavorm saab muundada teiseks, näiteks kineetiline energia muundub auto pidurdamise käigus soojusenergiaks. Kui hõõrdumisjõude pole ja soojust ei teki, siis kogu mehaaniline energia ei kao, vaid jääb kehade liikumise või interaktsiooni käigus konstantseks:

E = E p + E k = konst

Kui kehadevaheline hõõrdejõud toimib, siis mehaaniline energia väheneb, kuid isegi sel juhul ei kao see jäljetult, vaid muutub termiliseks (sisemiseks). Kui välisjõud teeb tööd suletud süsteemis, siis mehaaniline energia suureneb selle jõu poolt tehtava töö hulga võrra. Kui suletud süsteem teeb töid väliskehadele, siis süsteemi mehaaniline energia väheneb tema poolt tehtava töö hulga võrra.
Igat tüüpi energiat saab täielikult muuta mis tahes teist tüüpi energiaks.

Süsteem osakesed võib olla mis tahes keha, gaas, mehhanism, päikesesüsteem jne.

Osakeste süsteemi kineetiline energia, nagu eespool mainitud, määratakse sellesse süsteemi kuuluvate osakeste kineetiliste energiate summaga.

Süsteemi potentsiaalne energia on summa oma potentsiaalset energiat süsteemi osakesed ja süsteemi potentsiaalne energia potentsiaalsete jõudude välisväljas.

Sisemise potentsiaalse energia määrab antud süsteemi kuuluvate osakeste suhteline paigutus (s.o selle konfiguratsioon), mille vahel potentsiaalsed jõud mõjuvad, samuti süsteemi üksikute osade vaheline interaktsioon. Seda saab näidata kõigi sisemiste potentsiaalsete jõudude töö süsteemi konfiguratsiooni muutmisel võrdub süsteemi enda potentsiaalse energia vähenemisega:

. (3.23)

Sisemise potentsiaalse energia näideteks on molekulidevahelise interaktsiooni energia gaasides ja vedelikes ning statsionaarsete punktlaengute elektrostaatilise vastasmõju energia. Välise potentsiaalse energia näide on Maa pinnast kõrgemale tõstetud keha energia, kuna see on põhjustatud kehale püsiva välise potentsiaalse jõu - gravitatsioonijõu - toimest.

Jagame osakeste süsteemile mõjuvad jõud sise- ja välisjõududeks ning sisemised potentsiaalseteks ja mittepotentsiaalseteks. Esitame (3.10) kujul

Kirjutame (3.24) ümber, võttes arvesse (3.23):

Kogus, süsteemi kineetilise ja enesepotentsiaalse energia summa, on süsteemi mehaaniline koguenergia. Kirjutame (3.25) ümber järgmiselt:

st süsteemi mehaanilise energia suurenemine võrdub kõigi sisemiste mittepotentsiaalsete jõudude ja kõigi välisjõudude töö algebralise summaga.

Kui paneme sisse (3.26) Väline=0 (see võrdsus tähendab, et süsteem on suletud) ja (mis võrdub sisemiste mittepotentsiaalsete jõudude puudumisega) saame:

Mõlemad võrrandid (3.27) on avaldised mehaanilise energia jäävuse seadus: osakeste suletud süsteemi, milles puuduvad mittepotentsiaalsed jõud, mehaaniline energia liikumise ajal säilib, Sellist süsteemi nimetatakse konservatiivseks. Piisava täpsusega võib Päikesesüsteemi pidada suletud konservatiivseks süsteemiks. Kui suletud konservatiivne süsteem liigub, säilib kogu mehaaniline energia, samal ajal kui kineetiline ja potentsiaalne energia muutuvad. Need muutused on aga sellised, et ühe kasv on täpselt võrdne teise langusega.

Kui suletud süsteem ei ole konservatiivne, st selles mõjuvad mittepotentsiaalsed jõud, näiteks hõõrdejõud, siis sellise süsteemi mehaaniline energia väheneb, kuna see kulub nende jõudude vastu töötamisele. Mehaanilise energia jäävuse seadus on ainult looduses eksisteeriva universaalse energia jäävuse ja muundamise seaduse eraldiseisev ilming: energiat ei teki ega hävine kunagi, see saab liikuda ainult ühest vormist teise või vahetada aine üksikute osade vahel. Samal ajal laiendatakse energia mõistet mõistete kasutuselevõtuga selle uute vormide kohta peale mehaanilise - elektromagnetvälja energia, keemiline energia, tuumaenergia jne. Universaalne energia jäävuse ja muundamise seadus hõlmab neid füüsikalisi vorme. nähtused, millele Newtoni seadused ei kehti. Sellel seadusel on iseseisev tähendus, kuna see saadi eksperimentaalsete faktide üldistuste põhjal.

Näide 3.1. Leia töö, mille teeb materjali punktile piki teatud x-telge mõjuv elastsusjõud. Jõud järgib seadust, kus x on punkti nihkumine algpositsioonist (milles x=x 1), - ühikvektor x-telje suunas.

Leiame elastsusjõu elementaartöö punkti liigutamisel summa võrra dx. Valemis (3.1) elementaartöö jaoks asendame avaldise jõuga:

.

Seejärel leiame jõu töö, teostame integratsiooni piki telge x ulatudes alates x 1 enne x:

. (3.28)

Valemi (3.28) abil saab määrata kokkusurutud või venitatud vedru potentsiaalset energiat, mis on algselt vabas olekus, s.t. x 1 = 0(koefitsient k nimetatakse vedrukonstandiks). Surve või pinge all oleva vedru potentsiaalne energia on võrdne elastsusjõudude vastu suunatud tööga, mis on võetud vastupidise märgiga:

.

Näide 3.2 Kineetilise energia muutumise teoreemi rakendamine.

Leidke minimaalne kiirus sina, mis tuleb mürsule edastada, nii et see tõuseb kõrgusele H Maa pinnast kõrgemale(õhutakistust eirata).

Suuname koordinaattelje Maa keskpunktist mürsu lennu suunas. Mürsu esialgne kineetiline energia kulutatakse Maa gravitatsioonitõmbejõu potentsiaalsete jõudude vastu töötamisele. Valemit (3.10), võttes arvesse valemit (3.3), võib esitada järgmiselt:

.

Siin A– töötama vastu Maa gravitatsioonijõule (, g gravitatsioonikonstant, r– kaugus Maa keskpunktist mõõdetuna). Miinusmärk ilmneb seetõttu, et gravitatsioonilise külgetõmbejõu projektsioon mürsu liikumissuunale on negatiivne. Viimase avaldise integreerimine ja sellega arvestamine T(R+H)=0, T(R)=mυ2/2, saame:

Olles lahendanud saadud võrrandi υ jaoks, leiame:

kus on gravitatsiooni kiirendus Maa pinnal.