Infinite Mobius ზოლები. მობიუსის ზოლი ერთ-ერთი ყველაზე უჩვეულო ობიექტია ძალიან უცნაური თვისებებით.
მობიუსის ზოლები (Möbius loop, Möbius ზოლები)- მარტივი გარეგნობის ფიგურა, მაგრამ მათემატიკოსი იტყვის, რომ ეს არის ორგანზომილებიანი ზედაპირი საოცარი თვისებებით: მას აქვს მხოლოდ ერთი მხარე და ერთი კიდე, განსხვავებით ჩვეულებრივი რგოლისგან, რომელიც შეიძლება დაიბრუნოს იმავე ზოლიდან, როგორც მობიუსი. ზოლები, მაგრამ მას აქვს ორი მხარე და ორი კიდე. ამის გადამოწმება მარტივად შეგიძლიათ, თუ ხაზს დახაზავთ ფირზე შუაში, ფანქრის აწევის გარეშე, სანამ საწყის წერტილს არ დაუბრუნდებით. გასაკვირია, მაგრამ მართალია: ზოლის ნახევრად შემობრუნების გამო, მისი ზედა და ქვედა კიდეები გაერთიანდა ერთ უწყვეტ ხაზში, ხოლო ორი მხარე გადაიქცა ერთ მთლიანობად და გახდა ერთი მხარე. და აი შედეგი: თქვენ შეგიძლიათ მიხვიდეთ მობიუსის ზოლის ერთი წერტილიდან ნებისმიერ სხვაზე, ზღვარზე გადასვლის გარეშე.
სირბილი მობიუსის ზოლზე
გარე დამკვირვებლისთვის მოგზაურობა მობიუსის ზოლის გასწვრივ არის "წრეში სირბილი", სავსე მოულოდნელობებით. იგი ნათლად იყო გამოსახული ჰოლანდიელი გრაფიკოსის მაურიტს ეშერის (1898-1972) მიერ. ნახატში "მობიუსის ზოლი II" ჭიანჭველები დარბიან. მათი მოძრაობის თვალყურის დევნით, შეგიძლიათ გააკეთოთ საინტერესო აღმოჩენა. ფირზე ერთი რევოლუციის შემდეგ, თითოეული ჭიანჭველა იქნება საწყის წერტილში, მაგრამ უკვე ანტიპოდის პოზიციაში - ვიზუალურად ის იქნება ფირის "მეორე მხარეს" თავდაყირა. რა ემართება ორგანზომილებიან არსებას მობიუსის ზოლის გასწვრივ? ზედაპირის გარშემო გავლის შემდეგ, ის გადაიქცევა სარკისებურად (ამის წარმოდგენა ადვილია, თუ ლენტს გამჭვირვალე განიხილავთ). იმისათვის, რომ გახდეს საკუთარი თავი, ორგანზომილებიან არსებას მოუწევს კიდევ ერთი წრის გაკეთება. ასე რომ, ჭიანჭველას ორჯერ სჭირდება სიარული მობიუსის ზოლის გასწვრივ, რათა დაუბრუნდეს საწყის პოზიციას.
სამეცნიერო ცნობისმოყვარეობა ან სასარგებლო აღმოჩენა
მობიუსის ზოლს ხშირად მათემატიკურ ცნობისმოყვარეობას უწოდებენ. და მისი გარეგნობა მიეწერება შემთხვევითობას. ლეგენდის თანახმად, ლენტი გერმანელმა მეცნიერმა გამოიგონა, როცა მოახლეზე არასწორად შეკრული დაინახა. ყელსაბამი. ის იყო ცნობილი მათემატიკოსი და ასტრონომი, კარლ ფრიდრიხ გაუსის მოსწავლე. მან 1858 წელს აღწერა ცალმხრივი ზედაპირი ერთი კიდით, მაგრამ ნაშრომი არ გამოქვეყნებულა მის სიცოცხლეში. იმავე წელს, მობიუსისგან დამოუკიდებლად, მსგავსი აღმოჩენა გააკეთა გაუსის კიდევ ერთმა სტუდენტმა იოჰან ლისტინგმა.
ფირს ჯერ კიდევ მობიუსის სახელი ერქვა. იგი გახდა ტოპოლოგიის ერთ-ერთი პირველი ობიექტი - მეცნიერება, რომელიც შეისწავლის ფიგურების ყველაზე ზოგად თვისებებს, კერძოდ მათ, რომლებიც შენარჩუნებულია უწყვეტი (ჩაჭრისა და წებოვნების გარეშე) გარდაქმნების დროს: დაჭიმვა, შეკუმშვა, მოხრა, გრეხილი და ა.შ. რეზინისგან დამზადებული ფიგურების დეფორმაციები, ამიტომ ტოპოლოგიას სხვაგვარად უწოდებენ "რეზინის გეომეტრიას". ზოგიერთი ტოპოლოგიური პრობლემა გადაჭრა ლეონჰარდ ეილერმა ჯერ კიდევ მე-18 საუკუნეში. მათემატიკის ახალი დარგის დასაწყისი ჩაეყარა ლისტინგის ნაშრომს „წინასწარი კვლევები ტოპოლოგიაში“ (1847), პირველი სისტემატური ნაშრომი ამ მეცნიერების შესახებ. მან ასევე შექმნა ტერმინი „ტოპოლოგია“ (ბერძნული სიტყვებიდან τόπος - ადგილი და λόγος - სწავლება).
მობიუსის ზოლი შეიძლება ჩაითვალოს სამეცნიერო ცნობისმოყვარეობად, მათემატიკოსთა კიდევ ერთ ახირებად, თუ მას პრაქტიკული გამოყენება არ ჰქონია და არ შთააგონებდა ხელოვანებს. მხატვრებმა ის არაერთხელ გამოსახეს, მოქანდაკეებმა დაუდგეს ძეგლები და მწერლებმა მიუძღვნეს თავისი შემოქმედება. ამ უჩვეულო ზედაპირმა მიიპყრო არქიტექტორების, დიზაინერების, იუველირების და თუნდაც ტანსაცმლისა და ავეჯის მწარმოებლების ყურადღება. გამომგონებლებმა, დიზაინერებმა და ინჟინრებმა ყურადღება მიაქციეს მას (მაგალითად, ჯერ კიდევ 1920-იან წლებში, აუდიო და კინო ლენტები Möbius ზოლის სახით დაპატენტებული იყო, რაც საშუალებას აძლევდა გაორმაგებულიყო ჩაწერის ხანგრძლივობა). მაგრამ ყველაზე ხშირად ჯადოქრები ამ ფირზე არიან დაკავებულნი: ისინი იზიდავენ უჩვეულო თვისებებიჩნდება მოჭრისას.ასე რომ, თუ მობიუსის ზოლს გაჭრით შუა ხაზი, ის არ დაიყოფა ორ ნაწილად, როგორც თქვენ შეიძლება მოელოდეთ. ეს გახდის უფრო ვიწრო და გრძელ ორმხრივ ლენტას, ორჯერ გადაუგრიხეს (ატრაქციონის დიზაინს მსგავსი ფორმა აქვს). აი, "კულინარიული ხრიკი": მობიუსის ზოლის ფორმის ნამცხვრები ჩვეულებრივზე უფრო გემრიელი მოგეჩვენებათ, რადგან მათზე ორჯერ მეტი კრემის წასმა შეგიძლიათ! გარდა ამისა, არსებობს შენობების საინტერესო არქიტექტურული ნიმუშები, რომლებიც დამზადებულია „მობიუსის ზოლის სტილში“. ჯერჯერობით ისინი მხოლოდ ქაღალდზე არსებობს, მაგრამ, მინდა მჯეროდეს, რომ აუცილებლად განხორციელდება.
"ორაზროვანი" პოზიცია
თავისი თვისებებით, Möbius ზოლები რეალურად წააგავს ობიექტს Throughing Glass. და მას თავად, როგორც ასიმეტრიული ფიგურა, აქვს სარკე ორმაგი. მოდით გავაგზავნოთ მარჯვენა ფეხის ანაბეჭდი სასეირნოდ ფირზე და მალე აღმოვაჩენთ, რომ მარცხენა ფეხის ანაბეჭდი დაბრუნდება სახლში. სასაცილოა, არა? და როდის მოახერხა "მარჯვნივებმა" გახდნენ "მარცხენა"? მოდით "დავამაგროთ" ორგანზომილებიანი საათი ფირზე და ვაიძულოთ მას სრული რევოლუცია მოახდინოს მის გასწვრივ. საათს რომ ვუყურებთ, დავინახავთ, რომ ციფერბლატზე სტრიტები მოძრაობს იმავე სიჩქარით, მაგრამ საპირისპირო მხარეს! და მოძრაობის ორი მიმართულებიდან რომელია სწორი?
სანამ პასუხზე ფიქრობთ, მე აღვნიშნავ, რომ მათემატიკოსი შესთავაზებს ელეგანტურ გამოსავალს თუნდაც ამ "ორაზროვანი" სიტუაციიდან. აუცილებელია, პირველ რიგში, საათმა ყოველთვის ერთსა და იმავე დროს აჩვენოს და მეორეც, ციფერბლატზე ხელები უნდა იყოს ისეთ მდგომარეობაში, რომელიც შენარჩუნებული იქნება სარკის ანარეკლში, მაგალითად, ვერტიკალურად დგანან, ქმნიან შებრუნებულ კუთხეს.
აბა, შევამოწმოთ პასუხი? ფაქტობრივად, შეუძლებელია მობიუსის ზოლზე ბრუნვის კონკრეტული მიმართულების დაყენება. ერთი და იგივე მოძრაობა შეიძლება აღიქმებოდეს როგორც საათის ისრის მიმართულებით და საპირისპირო მიმართულებით. როდესაც მობიუსის ზოლზე შემთხვევით შერჩეული წერტილი მის ირგვლივ მიდის, ერთი მიმართულება მუდმივად იცვლება მეორეზე. ამავდროულად, "მარჯვენა" დახვეწილად შეიცვალა "მარცხნივ". ორგანზომილებიანი არსება თავისთავად ვერ შეამჩნევს რაიმე ცვლილებას. მაგრამ მათ დაინახავენ სხვა მსგავსი არსებები და, რა თქმა უნდა, ჩვენც, რომლებიც სხვა განზომილებიდან ვუყურებთ რა ხდება. ეს ისეთი არაპროგნოზირებადი, ცალმხრივი მობიუსის ზედაპირია.
ცალმხრივი თავსატეხი
ვინაიდან თითოეულ ქაღალდს ორი მხარე აქვს, როცა ხატავთ, ფანქარი უნდა აწიოთ და ქაღალდი გადააბრუნოთ, რომ მეორე მხარეს დახატოთ. თუ ფურცელს მხოლოდ ერთი მხარე ჰქონდა, შეგიძლიათ დაწეროთ მის ნებისმიერ ნაწილზე ფანქრის აწევის გარეშე. თუ ბუზი ცოცავს ცალმხრივ ქაღალდზე, მას შეუძლია მოხვდეს მის ნებისმიერ ნაწილზე მკვეთრ კიდეებზე გადასვლის გარეშე, არა? და მას ყოველთვის შეუძლია დაბრუნდეს იქ, სადაც დაიწყო სიარული. ეს შესაძლებელია?
ნამდვილი ცალმხრივი ფურცელი აღმოაჩინა გერმანელმა ასტრონომმა და მათემატიკოსმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა. მის პატივსაცემად, ასეთ ზოლს Möbius-ის ზოლს უწოდებენ.
მობიუსმა შეისწავლა მათემატიკის ტოპოლოგია, რომელიც სწავლობს ობიექტების ზედაპირებს. ტოპოლოგები, სახელწოდებით მათემატიკოსები, რომლებიც სწავლობენ ტოპოლოგიას, ადგენენ რა ემართებათ ნივთებს, როდესაც ისინი დეფორმირდება, როდესაც ისინი ფორმას ცვლიან რღვევის ან ხვრელების შექმნის გარეშე. რამდენიმე მაგალითს მოგიყვან.
ჩემს წარმოსახვაში შემიძლია ფრჩხილი საღეჭი რეზინის ფორმაში მოვიხარო და გავწელო, არა? (რა თქმა უნდა, ტოპოლოგიაში ჩვენ ვიყენებთ ჩვენს ფანტაზიას. ბევრი რამის რეალობად ქცევა შეუძლებელია.) შემიძლია თუ არა მაკრატელი ავიღო და გაჭიმვა რეზინის სახით? არა! ეს არ იმუშავებს, რადგან მაკრატელს სახელურებში აქვს ხვრელები. როგორც არ უნდა გონებრივად შევცვალო მათი პირვანდელი ფორმა, მათში მაინც იქნება ხვრელები. მაგრამ ტოპოლოგისთვის ყველაფერი ხვრელების გარეშე ერთნაირია, ისევე როგორც ყველაფერი იგივე რაოდენობის ხვრელების მქონე. ეს საკმაოდ რთული მეცნიერებაა, მაგრამ თუ ცოტათი მაინც დაიწყებთ მის გაგებას, შეგიძლიათ გახდეთ კარგი ტოპოლოგი. ეს მაგალითები მოითხოვს ძალიან კარგ ფანტაზიას და ისინი მხოლოდ დასაწყისია ტოპოლოგიის მეცნიერებაში.
მთავარი ის არის, რომ ტოპოლოგები სწავლობენ ობიექტების ზედაპირებს. ტოპოლოგისთვის ფურცელს ორი მხარე აქვს. (თუ კიდეებზე ფიქრობს, შეიძლება თქვას, რომ ექვსი მათგანია). ეს არის ზუსტად ის, რაც მობიუსმა გააკეთა და ეს არის გამოსავალი, რომელიც მან მოიფიქრა.
დავიწყოთ Möbius ზოლის დამზადება
ეს კვლევა მსგავსია, რაც თქვენ გააკეთეთ პირველი ნაწილის ბოლოს. ჯერ გააკეთეთ ბეჭედი გაზეთების ქაღალდის ზოლისგან, ბოლოები ლენტით მიამაგრეთ. დახაზეთ ფანქრის ხაზი ზოლის შუაზე. ამის შემდეგ ნახავთ, რომ ხაზი გადის ერთი, გარე მხარის გასწვრივ. ამ ქაღალდს, თუმცა ბეჭედ იქცა, მაინც ორი მხარე აქვს!
DIY Möbius ზოლები:
ქაღალდის მეორე ზოლი წებოვანა რგოლში, მაგრამ გადაატრიალეთ ზოლი ნახევარი შემობრუნების წინ, სანამ ბოლოებს დააწებებთ ერთმანეთს. შემოხაზეთ იგი შუაზე. თქვენ დაბრუნდებით იქ, სადაც დაიწყეთ და თქვენი ხაზი ორივე მხარეს იქნება! მიუხედავად იმისა, რომ თქვენ არ ასწიეთ ფანქარი ქაღალდიდან, რომ „მეორე მხარეს დახატოთ“, ქაღალდის ეს ზოლი (ბოლო ზემოთ) არის ცნობილი Möbius ზოლები, ქაღალდის ნაჭერი, რომელსაც მხოლოდ ერთი მხარე აქვს!
მას შემდეგ რაც გააკეთეთ Möbius ზოლები, შეგიძლიათ გააგრძელოთ მისი შესწავლა. ბუნებრივია, ფურცელი, რომელსაც მხოლოდ ერთი მხარე აქვს, ძალიან განსხვავდება ნებისმიერი სხვა ფურცლისგან, რომელიც ოდესმე შეგხვედრიათ თქვენს ცხოვრებაში.
რამდენად განსხვავებულია ის?
მაკრატლის გამოყენებით გაჭერით პირველი (ჩვეულებრივი) რგოლი თქვენს მიერ დახატული ხაზის გასწვრივ. შედეგად, თქვენ მიიღებთ ორ ცალკეულ ქაღალდის რგოლს. ეს არის ის, რასაც მოელოდით ორმხრივი ქაღალდისგან.
გააკეთეთ იგივე ჭრილი მობიუსის ზოლზე (ბოლო შემობრუნებული). ამჯერად თქვენ მიიღებთ ერთ ბეჭედს, რომელიც ორჯერ გრძელი იქნება, ვიდრე ორიგინალი.
მართლაც, ცალმხრივი ქაღალდი ძალიან განსხვავებულია.
თუ გაინტერესებთ, რა დაემართა მეორე მხარეს ან რატომ იყო ზოლი ორჯერ გრძელი, ვშიშობ, რომ კითხვების დასმას მოგიწევთ ლოდინი. მიუხედავად იმისა, რომ ტოპოლოგია ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო მეცნიერებაა, მისი ჭეშმარიტად გაგება მოითხოვს უზარმაზარ ცოდნას. შესაძლოა, ამ მარტივმა ექსპერიმენტმა დაგაინტერესოთ „ტოპოლოგიის უცნაური სამყარო“, რომელზეც ალბათ არაერთხელ დაფიქრდებით.
მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება "სუგუტსკაიას საშუალო სკოლა"
ბატირევსკის რაიონი
სუგუცოის საშუალო სკოლა
ზედამხედველი
თან. სუგუტი - 2007 წ
სამუშაოს მიზანი: თითოეულ ჩვენგანს აქვს ინტუიციური წარმოდგენა იმის შესახებ, თუ რა არის „ზედაპირი“. ფურცლის ზედაპირი, საკლასო ოთახის კედლების ზედაპირი, ზედაპირი გლობუსიყველასთვის ცნობილი. შეიძლება იყოს რაიმე მოულოდნელი და თუნდაც იდუმალი ასეთ ჩვეულებრივ კონცეფციაში? Möbius ზოლის მაგალითი აჩვენებს, რომ მას შეუძლია.
1. რა არის Möbius ზოლები?
2. დიდი მათემატიკოსი - ასტრონომი.
3. მსგავსი ობიექტები.
4.როგორ გავაკეთოთ მობიუსის ზოლები.
5. რამდენი გვერდი აქვს მობიუსის ზოლს?
6. გამოსაცვლელი ჯარისკაცი.
7. ექსპერიმენტები.
რა არის Möbius ზოლები?
(სხვა სახელია) - ტოპოლოგიური ობიექტი, უმარტივესი ცალმხრივი ზედაპირი კიდეებით. თქვენ შეგიძლიათ ამ ზედაპირის ერთი წერტილიდან მეორეზე გადახვიდეთ კიდეების გადაკვეთის გარეშე. დამოუკიდებლად აღმოაჩინეს გერმანელმა მათემატიკოსებმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა და 1858 წ. ადვილად შეიძლება გაკეთდეს. ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ საკმაოდ წაგრძელებული ქაღალდის ზოლი და დააკავშიროთ ზოლის ბოლოები, ჯერ ერთი მათგანი გადააბრუნოთ. ევკლიდეს სივრცეში, მოხვევის მიმართულებიდან გამომდინარე, არსებობს ორი სახის მობიუსის ზოლები: მემარჯვენე და მემარცხენე. მობიუსის ზოლს ზოგჯერ უწოდებენ უსასრულობის სიმბოლოს წინამორბედს, რადგან თუ თქვენ ყოფილხართ მობიუსის ზოლის ზედაპირზე, შეგიძლიათ სამუდამოდ გაისეირნოთ მის გასწვრივ. ეს სიმართლეს არ შეესაბამება, რადგან სიმბოლო გამოიყენებოდა უსასრულობის გამოსასახად ორი საუკუნით ადრე მობიუსის ზოლის აღმოჩენამდე. (იხ. უსასრულობის სიმბოლო) ტოპოლოგიური თვალსაზრისით, საჭე და წრე ერთი და იგივეა. რეზინის ნაჭერის დაწნევით და გაჭიმვით შეგიძლიათ ამ სხეულებიდან მეორეზე გადახვიდეთ. მაგრამ საჭე და ბურთი სხვადასხვა საგნებია: ხვრელის გასაკეთებლად საჭიროა რეზინის გახეთქვა.
ტოპოლოგია აუცილებელია თითქმის ყველა სპეციალობის მათემატიკოსებისთვის, ის ძალიან ლამაზია, მისი მეთოდები სხვებთან შედარებით, ამავდროულად იძლევა უფრო ზოგად, ძლიერ და მარტივ თეორემებს.
Möbius ზოლის დამზადება ძალიან მარტივია, დაიჭირე ხელში, გაჭრა, ექსპერიმენტი სხვა გზით. მობიუსის ზოლის შესწავლა კარგი შესავალია ტოპოლოგიის ელემენტებში: ეილერის თეორემა, შეღებვა, უნივერსალურობა, უწყვეტი რუქების კონცეფცია.
მობიუსი.
იდუმალი და ცნობილი მობიუსის ზოლი (ზოგჯერ მას მობიუსის ზოლს უწოდებენ) 1858 წელს გამოიგონეს. გერმანელი გეომეტრი ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსი (), "მათემატიკოსთა მეფის" გაუსის სტუდენტი. მობიუსი თავდაპირველად ასტრონომი იყო, ისევე როგორც გაუსი და მრავალი სხვა, ვისაც მათემატიკა ევალება თავის განვითარებას. იმ დღეებში მათემატიკა არ იყო მხარდაჭერილი და ასტრონომია აძლევდა საკმარის ფულს, რომ არ ეფიქრა მათზე და ტოვებდა დროს საკუთარ აზრებს. და მობიუსი გახდა მე-19 საუკუნის ერთ-ერთი უდიდესი გეომეტრი. 68 წლის ასაკში მან შეძლო საოცარი სილამაზის აღმოჩენა. ეს არის ცალმხრივი ზედაპირების აღმოჩენა, რომელთაგან ერთ-ერთია მობიუსის ზოლი.
მსგავსი ობიექტები.
ახლომდებარე "უცნაური" გეომეტრიული ობიექტია კლეინის ბოთლი. Klein-ის ბოთლის შექმნა შესაძლებელია მობიუსის ორი ზოლის კიდეებზე წებოვნებით. ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში ამის გაკეთება შეუძლებელია თვითგადაკვეთის შექმნის გარეშე.
კიდევ ერთი მსგავსი ნაკრები არის რეალური საპროექტო თვითმფრინავი. თუ თქვენ გააკეთებთ ხვრელს რეალურ საპროექციო სიბრტყეში, მაშინ ის, რაც დარჩება არის Möbius-ის ზოლი. მეორეს მხრივ, თუ დისკს დააწებებთ მობიუსის ზოლს, რომელიც შეესაბამება მათ საზღვრებს, შედეგი იქნება პროექციული სიბრტყე. ამის ვიზუალიზაციისთვის სასარგებლოა Möbius ზოლის გადახვევა ისე, რომ მისი საზღვარი გახდეს რეგულარული წრე. ასეთ ფიგურას ეწოდება "გადაჯვარედინებული სახურავი" (ჯვარედინი სახურავი ასევე შეიძლება ნიშნავდეს იმავე ფიგურას დამაგრებული დისკით, ანუ საპროექტო სიბრტყის ჩაძირვაში. რ 3).
არსებობს გავრცელებული მცდარი მოსაზრება, რომ გადაკვეთილი ქუდი არ შეიძლება ჩამოყალიბდეს სამ განზომილებაში თვითგადაკვეთის ზედაპირის გარეშე. რეალურად შესაძლებელია მობიუსის ზოლის მოთავსება რ 3 საზღვარი არის სრულყოფილი წრე. იდეა ასეთია: მოდით Cიქნება ერთეული წრე სიბრტყეში xyვ რ 3. ანტიპოდური წერტილების შეერთებით C, ანუ, წერტილები θ და θ + π კუთხით წრის რკალით, მივიღებთ, რომ θ-სთვის 0-დან π/2-ს შორის რკალი დევს სიბრტყის ზემოთ. xyდა სხვებისთვის θ უფრო დაბალია (და ორ ადგილას რკალი დევს სიბრტყეში xy).
შეიძლება აღინიშნოს, რომ თუ დისკი მიმაგრებულია სასაზღვრო წრეზე, მაშინ წარმოქმნილი საპროექტო სიბრტყის თვითგადაკვეთა გარდაუვალია სამგანზომილებიან სივრცეში. კვადრატის გვერდების დაზუსტების თვალსაზრისით, როგორც ზემოთ არის ნაჩვენები, რეალური საპროექციო სიბრტყე მიიღება დარჩენილი ორი მხარის ერთმანეთთან შეწებებით ორიენტაციის „შენარჩუნებისას“.
როგორ გააკეთოთ მობიუსის ზოლები.
ვიღებთ ქაღალდის ლენტას ABCD, რომელიც გავყოფთ შუა სიგანეზე წერტილოვანი ხაზით (იხ. ნახატი), ვახვევთ მის ბოლოებს AB და SD ერთმანეთს და ვაწებებთ ერთმანეთს. ოღონდ არა შემთხვევით, არამედ ისე, რომ A წერტილი ემთხვეოდეს D წერტილს, ხოლო B წერტილი ემთხვევა C წერტილს. წებოვნებამდე ერთხელ ვახვევთ ლენტს. შედეგი იყო ცნობილი ქაღალდის ბეჭედი მათემატიკაში. მას განსაკუთრებული სახელიც კი აქვს - MOBIUS-ის ფოთოლი. ახლა კი ჩვენ ვიყენებთ მაკრატელს, რომ დავჭრათ წებოვანი ლენტი შუაზე, წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ. რა თქმა უნდა, წებოვნებამდე ლენტი რომ არ დაგრეხილიყო, ყველაფერი მარტივი იქნებოდა: ერთი ფართო რგოლი ორ ვიწროდ გადაიქცევა. Ახლა რა?
რამდენი გვერდი აქვს მობიუსის ზოლს? ?
ზოლს, საიდანაც Möbius ზოლი მზადდება, აქვს ორი მხარე. მას კი, თურმე, მხოლოდ ერთი მხარე აქვს!
შევეცადოთ დავხატოთ მობიუსის ზოლზე - ნაწილ-ნაწილ, ზოლის კიდეზე გადასვლის გარეშე. Და რა? თქვენ დახატავთ მობიუსის მთელ ზოლს! „თუ ვინმე გადაწყვეტს მობიუსის ზოლის ზედაპირის „მხოლოდ ერთი“ მხარის დახატვას, უმჯობესი იქნება, დაუყოვნებლივ ჩაეფლოს იგი საღებავის ვედროში“, წერენ რიჩარდ კურანტი და ჰერბერტ რობინსი შესანიშნავ წიგნში „რა არის მათემატიკა“.
თუ ჩვეულებრივი რგოლის შიგნიდან ობობას დააყენებთ, გარედან კი ბუზს და ნებას დართეთ ისე ირბინონ, როგორც უნდათ, მხოლოდ ბეჭდის კიდეებზე ასვლას აუკრძალავთ, მაშინ ობობა ვერ შეძლებს მისვლას. ფრენა. და თუ ორივე დარგეს მობიუსის ზოლზე, მაშინ საწყალი ბუზი შეჭამს, თუ, რა თქმა უნდა, ობობა უფრო სწრაფად არ დაცოცავს.
ჯარისკაცი ცვალებადია.
გამოვკვეთე ქაღალდის ჯარისკაციდა გაგზავნა ის წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ, რომელიც გადიოდა მობიუსის ზოლის შუაში. და ასე დაუბრუნდა საწყის წერტილს. მაგრამ რა ფორმით! შებრუნებული! და იმისთვის, რომ სტარტს ნორმალურ მდგომარეობაში დაუბრუნდეს, მას კიდევ ერთი "მრგვალი ფოთლის" მგზავრობა სჭირდება. Შეამოწმე!
ექსპერიმენტები ყველასთვის.
ავიღოთ ლენტი, გავყოთ თითო მხარე სამ იდენტურ ზოლად და დავაწებოთ მობიუსის ზოლის ერთხელ გადახვევით. ჩვენ დავჭრით წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ. ლენტი რომ არ იყო დაგრეხილი, მაშინ ჯერ ერთ რგოლს მოვწყვეტდით, შემდეგ კი დანარჩენ ორს. სამივე რგოლი, თითოეული იგივე სიგრძით, როგორც ორიგინალი, მაგრამ ერთი მესამედი სიგანე. მაგრამ ჩვენ გვაქვს Möbius ზოლები. და, ქაღალდიდან მაკრატლის აწევის გარეშე, ჩვენ ერთდროულად ვჭრით ყველა წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ და ვიღებთ ორ გადაჯაჭვულ რგოლს. ერთი მათგანი ორჯერ გრძელია, ვიდრე ორიგინალი და ორჯერ გადაუგრიხეს. მეორე არის Möbius ზოლები, რომლის სიგანე სამჯერ მცირეა, ვიდრე ორიგინალი.
დასკვნა: ეს ნამუშევარი დაეხმარება სტუდენტებს გააფართოვონ თავიანთი
ჰორიზონტი. ის გასწავლით, რომ იპოვოთ მოულოდნელი და თუნდაც იდუმალი ჩვეულებრივ კონცეფციაში.
ლიტერატურის გამოყენება:
1. კლასგარეშე სამუშაო მათემატიკაში.
2. მათემატიკური ყვავილების ბაღი.
3.მათემატიკის ისტორიის მოკლე ჩანახატი. დ.ია. მშენებლობა თარგმანი
გერმანულიდან და I. B. POGREBYSSKY-ის დამატებები.
მობიუსის ზოლი არის სამგანზომილებიანი ზედაპირი, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი მხარე და ერთი საზღვარი და აქვს არაორიენტაციის მათემატიკური თვისება. იგი დამოუკიდებლად და ერთდროულად აღმოაჩინეს ორმა გერმანელმა მათემატიკოსმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა და იოჰან ბენედიქტ ლისტინგმა 1858 წელს.
Möbius-ის ზოლის მოდელი ადვილად შეიძლება შეიქმნას ქაღალდის ზოლიდან, ზოლის ერთი ბოლო ნახევრად შემობრუნებით და მეორე ბოლოსთან შეერთებით დახურული ფორმის შესაქმნელად. თუ ფირის ზედაპირზე ფანქრით ხაზს დაიწყებთ, ხაზი ღრმად ჩავა ფიგურაში და გაივლის ხაზის საწყისი წერტილის ქვეშ, თითქოს ფირის „მეორე მხარეს“ გადადის. თუ ხაზს გააგრძელებთ, ის დაუბრუნდება საწყის წერტილს. ამ შემთხვევაში, დახაზული ხაზის სიგრძე ორჯერ იქნება ქაღალდის ზოლის სიგრძეზე. ეს მაგალითი აჩვენებს, რომ Möbius ზოლს აქვს მხოლოდ ერთი მხარე და ერთი საზღვარი.
ევკლიდეს სივრცეში, ფაქტობრივად, არსებობს ორი სახის ნახევრად შემობრუნებული მობიუსის ზოლები: ერთი - საათის ისრის მიმართულებით, მეორე - ისრის საწინააღმდეგოდ.
გეომეტრია და მათემატიკა
მობიუსის ზოლი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განტოლებათა პარამეტრული სისტემით:
სად და. ეს განტოლებები აღწერს მობიუსის ზოლს 1 სიგანით, რომელიც მდებარეობს სიბრტყეში x-y;წრის შიდა რადიუსი არის 1, შიდა წრის ცენტრი არის საწყისზე (0,0,0). Პარამეტრი uმოძრაობს ფირზე და პარამეტრზე ვ- ერთი საზღვრიდან მეორემდე.
სხვა გზით, ფირზე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გამოხატულება პოლარულ კოორდინატებში:
ტოპოლოგიურად, მობიუსის ზოლი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც კვადრატი x, რომლის ზედა ნაწილი დაკავშირებულია ქვედასთან თანაფარდობით ( x,0) ~ (1-x,1) 0 ≤-ისთვის x≤ 1, როგორც ნაჩვენებია სურათზე მარჯვნივ.
მიმდებარე ობიექტები
მობიუსის ზოლთან მჭიდრო კავშირშია იდუმალი ობიექტი - კლეინის ბოთლი. Klein-ის ბოთლის შექმნა შესაძლებელია მობიუსის ორი ზოლის ერთმანეთთან დაწებებით მათი საზღვრების გასწვრივ. ეს ოპერაცია არ შეიძლება შესრულდეს სამგანზომილებიან სივრცეში ფიგურის შიგნით კვეთების შექმნის გარეშე.
ერთ-ერთი ძირითადი შეუძლებელი ფიგურა შეუძლებელი სამკუთხედიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს Möbius ზოლის სახით, თუ მისი ზოგიერთი კიდე გათლილი იქნება. ეს გამოიწვევს მობიუსის ზოლს, რომელიც აღწერს სამ ბრუნს.
Ხელოვნება
 Power Architecture-ის ლოგო |
ასევე, Mobius ზოლები ხშირად გამოიყენება სხვადასხვა ლოგოებისა და სავაჭრო ნიშნების სურათებში. ყველაზე ნათელი მაგალითია ხელახალი გამოყენების საერთაშორისო სიმბოლო.
განაცხადი. ნახატები მობიუსის ზოლებით
პოლ ბიელაჩიკის ქვემოთ მოცემულ ნახატს ჰქვია, როგორც ავტორი ამბობს, ეს ნახატი მისი ცხოვრების სხვადასხვა ასპექტის გაერთიანებაა. კელტური კვანძები მას აკრავს მის ნამუშევრებში, ნახატებში M.K. ეშერის ნამუშევრები ყოველთვის შთაგონების წყაროა და Möbius-ის ზოლები მხატვრის თემატიკის შესაბამისია.
ერთ-ერთი უმარტივესი და ამავე დროს ყველაზე რთული და უცნაური ობიექტია მობიუსის ზოლები. მიუხედავად ამ ფიგურის ორიგინალურობისა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გააკეთოთ ის საკუთარ თავს და განახორციელოთ ყველა ექსპერიმენტი, რომელიც აღწერილია ამ სტატიაში.
მობიუსის ზოლი არის უმარტივესი არაორიენტირებადი ზედაპირი, რომელიც ცალმხრივია სამგანზომილებიან სივრცეში. მას ხშირად უწოდებენ მობიუსის ზედაპირს და კლასიფიცირდება როგორც უწყვეტი (ტოპოლოგიური) ობიექტი.
ლეგენდის თანახმად, გერმანელმა ასტრონომმა, მათემატიკოსმა და მექანიკოსმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა აღმოაჩინა ეს ობიექტი მას შემდეგ, რაც მის სახლში მომუშავე მოსამსახურემ ქსოვილის ლენტი ბეჭედ შეკერა, დაუდევრად გადაატრიალა მისი ერთი ბოლო. შედეგის დანახვისას მობიუსმა უიღბლო გოგონას გაკიცხვის ნაცვლად თქვა: „ოჰ, დიახ, მართა! გოგო არც ისე სულელია. ყოველივე ამის შემდეგ, ეს არის ცალმხრივი რგოლის ზედაპირი. ლენტს ზურგი არ აქვს!”
ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსი.
ფირის თვისებების შესწავლის შემდეგ, მობიუსმა დაწერა სტატია ამის შესახებ და გაუგზავნა პარიზის მეცნიერებათა აკადემიას, მაგრამ არასოდეს უნახავს მისი გამოცემა. მისი მასალები მათემატიკოსის გარდაცვალების შემდეგ გამოქვეყნდა და მის პატივსაცემად უჩვეულო ტოპოლოგიურ ზედაპირს დაარქვეს.
Möbius-ის ზოლის დამზადება ძალიან მარტივია: აიღეთ ზოლი ABCD და შემდეგ დაკეცეთ ისე, რომ A და D წერტილები დაუკავშირდეს B და C-ს.
მობიუსის ზოლის დამზადება. შედეგი არის ერთი შეხედვით ჩვეულებრივი ფიგურა, რომელსაც აქვს ძალიან საინტერესო თვისებები.
მობიუსის ზოლის უჩვეულო თვისებები
ცალმხრივობა
ჩვენ ყველა მიჩვეული ვართ იმ ფაქტს, რომ ყველა ობიექტის ზედაპირს, რომელსაც რეალურ სამყაროში ვხვდებით (მაგალითად, ქაღალდის ნაჭერს) აქვს ორი მხარე. მაგრამ Möbius ზოლის ზედაპირი ცალმხრივია. ამის მარტივად შემოწმება შესაძლებელია ფირზე დახატვით. თუ ფანქარს აიღებთ და ლენტის შეღებვას ნებისმიერი ადგილიდან გადაბრუნების გარეშე დაიწყებთ, ბოლოს ლენტი მთლიანად გადაიღებება.
თუ ვინმე ცდილობს მობიუსის ზოლის ზედაპირის მხოლოდ ერთი მხარის დახატვას, მაშინ უმჯობესია დაუყოვნებლივ ჩაეფლო იგი საღებავების თაიგულში, მობიუსის ზოლის ზედაპირი უწყვეტია.
ამის გადამოწმება მარტივად შეიძლება შემდეგნაირად: თუ ფირზე სადმე წერტილს დააყენებთ, მაშინ ის შეიძლება დაუკავშირდეს ფირის ზედაპირზე ნებისმიერ სხვა წერტილს კიდეზე გადაკვეთის გარეშე. ამრიგად, აღმოჩნდება, რომ ამ ობიექტის ზედაპირი უწყვეტია.
Möbius ზოლს არ აქვს ორიენტაცია
თუ შეგეძლოთ მობიუსის მთელი ზოლის გავლა, მაშინ იმ მომენტში, როდესაც დაბრუნდებით მოგზაურობის საწყის წერტილში, თქვენ გადაიქცევით საკუთარი თავის სარკისებურად.
თუ ლენტი შუაზე სიგრძეზეა გაჭრილი, მაშინ ამ შემთხვევაში მიიღებთ მხოლოდ ერთ ლენტს, თუმცა ლოგიკა ამბობს, რომ ორი უნდა იყოს, ხოლო თუ გაჭრით, კიდედან უკან დაიხევთ სიგანის მესამედით. ფირზე, თქვენ მიიღებთ ერთმანეთთან დაკავშირებულ ორ რგოლს - პატარა და დიდი. მას შემდეგ რაც გავაკეთეთ პატარა რგოლის გრძივი მონაკვეთი შუაში, ბოლოს მივიღებთ იმავე ზომის ორ გადახლართულ რგოლს, მაგრამ განსხვავებულ სიგანეში.
Möbius ზოლის პრაქტიკული გამოყენება
უკვე საკმაოდ ბევრი გამოგონებაა დაფუძნებული ამ უჩვეულო ტოპოლოგიური ობიექტის თვისებებზე. მაგალითად, მელნის ლენტი წერტილოვანი მატრიცის პრინტერებში, გადაბმული Mobius-ის ზოლში, გაცილებით მეტხანს ძლებს, რადგან ამ შემთხვევაში ცვეთა თანაბრად ხდება მთელ ზედაპირზე. და ამ გეომეტრიული ობიექტის ფორმაში დაგრეხილი სამზარეულოს მიქსერის ან ბეტონის მიქსერის პირები ამცირებს ენერგიის ხარჯებს 20%-ით და ამავდროულად უმჯობესდება მიღებული ნარევის ხარისხი.
არსებობს ჰიპოთეზა, რომ დნმ-ის პოლიმერი, რომელიც არის ორმაგი სპირალი, არის მობიუსის ზოლის ფრაგმენტი და ამ მიზეზით დნმ-ის კოდის გაშიფვრა და გაგება ძალიან რთულია.
ზოგიერთი ფიზიკოსი ამბობს, რომ ოპტიკური ეფექტები ეფუძნება იმავე თვისებებს, რაც აქვს ამ პარადოქსულ ობიექტს, ამიტომ სარკეში ჩვენი ასახვა არის მობიუსის ზოლის ერთ-ერთი თვისების განსაკუთრებული შემთხვევა.
კიდევ ერთი ჰიპოთეზა, რომელიც დაკავშირებულია ამ მათემატიკურ ობიექტთან, არის ის, რომ ჩვენი სამყარო შესაძლოა დახურული იყოს ასეთ ლენტაში და მას აქვს საკუთარი სარკისებური ასლი. იმის გამო, რომ თუ ჩვენ ყოველთვის მივიწევთ ერთი მიმართულებით მობიუსის ზოლის გასწვრივ, მაშინ, საბოლოოდ, აღმოვჩნდებით ჩვენი მოგზაურობის საწყის წერტილში, მაგრამ საკუთარ სარკეში.
იდუმალი კლეინის ბოთლი
Möbius-ის ზოლზე დაფუძნებული კიდევ ერთი საოცარი ფიგურაა - Klein-ის ბოთლი. ეს არის ბოთლი, რომელსაც ბოლოში ნახვრეტი აქვს. ბოთლის კისერი წაგრძელებული და მოხრილია, გადადის თავად ბოთლის ერთ-ერთ კედელში.
კლეინის ბოთლი
ასეთი ფიგურის რეპროდუცირება შეუძლებელია ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან სივრცეში, რადგან კისერი არ უნდა ეხებოდეს ბოთლის კედელს და უნდა იყოს დაკავშირებული მის ძირში არსებულ ნახვრეტთან. ეს იწვევს ზედაპირს, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი მხარე. Klein ბოთლი და Möbius ზოლები კვლავ იპყრობს მეცნიერებისა და მწერლების ყურადღებას.
A. Deitch-მა ერთ-ერთ მოთხრობაში დაწერა იმის შესახებ, თუ როგორ გადაიკვეთა ერთ დღეს ლიანდაგები ნიუ-იორკის მეტროში და მთელი მეტრო დაემსგავსა მობიუსის ზოლს, ხოლო ლიანდაგზე მოძრავი ელექტრო მატარებლები გაუჩინარდნენ და ხელახლა გამოჩნდნენ მხოლოდ რამდენიმე თვეში. მოგვიანებით.
ალექსანდრე მიჩის წიგნში The Giveaway Game გმირები აღმოჩნდებიან სივრცეში, რომელიც კლაინის ბოთლს წააგავს.
სამყარო ჩვენთვის ჯერ კიდევ უზარმაზარ საიდუმლოდ რჩება და ვინ იცის, კოსმოსური მეცნიერების სხვა უცნაურობებს უახლოეს მომავალში აღმოაჩენენ.