მოებიუსის ზოლი საოცარი აღმოჩენაა. მობიუსის ზოლები ერთ-ერთი ყველაზე უჩვეულო საგანია ძალიან უცნაური თვისებებით როგორ გავაკეთოთ მობიუსის ზოლები ქაღალდისგან

ერთ-ერთი უმარტივესი და ამავე დროს ყველაზე რთული და უცნაური ობიექტია მობიუსის ზოლები. მიუხედავად ამ ფიგურის ორიგინალურობისა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გააკეთოთ ის საკუთარ თავს და განახორციელოთ ყველა ექსპერიმენტი, რომელიც აღწერილია ამ სტატიაში.

მობიუსის ზოლი არის უმარტივესი არაორიენტირებადი ზედაპირი, რომელიც ცალმხრივია სამგანზომილებიან სივრცეში. მას ხშირად უწოდებენ მობიუსის ზედაპირს და კლასიფიცირდება როგორც უწყვეტი (ტოპოლოგიური) ობიექტი.

ლეგენდის თანახმად, გერმანელმა ასტრონომმა, მათემატიკოსმა და მექანიკოსმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა აღმოაჩინა ეს ობიექტი მას შემდეგ, რაც მის სახლში მომუშავე მოსამსახურემ ქსოვილის ლენტი ბეჭედ შეკერა, დაუდევრად გადაატრიალა მისი ერთი ბოლო. შედეგის დანახვისას მობიუსმა უიღბლო გოგონას გაკიცხვის ნაცვლად თქვა: „ოჰ, დიახ, მართა! გოგო არც ისე სულელია. ყოველივე ამის შემდეგ, ეს არის ცალმხრივი რგოლის ზედაპირი. ლენტს ზურგი არ აქვს!”

ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსი.

ფირის თვისებების შესწავლის შემდეგ, მობიუსმა დაწერა სტატია ამის შესახებ და გაუგზავნა პარიზის მეცნიერებათა აკადემიას, მაგრამ არასოდეს უნახავს მისი გამოცემა. მისი მასალები მათემატიკოსის გარდაცვალების შემდეგ გამოქვეყნდა და მის პატივსაცემად უჩვეულო ტოპოლოგიურ ზედაპირს დაარქვეს.

Möbius-ის ზოლის დამზადება ძალიან მარტივია: აიღეთ ზოლი ABCD და შემდეგ დაკეცეთ ისე, რომ A და D წერტილები დაუკავშირდეს B და C-ს.

მობიუსის ზოლის დამზადება. შედეგი არის ერთი შეხედვით ჩვეულებრივი ფიგურა, რომელსაც აქვს ძალიან საინტერესო თვისებები.

მობიუსის ზოლის უჩვეულო თვისებები

ცალმხრივობა
ჩვენ ყველა მიჩვეული ვართ იმ ფაქტს, რომ ყველა ობიექტის ზედაპირს, რომელსაც რეალურ სამყაროში ვხვდებით (მაგალითად, ქაღალდის ნაჭერს) აქვს ორი მხარე. მაგრამ Möbius ზოლის ზედაპირი ცალმხრივია. ამის მარტივად შემოწმება შესაძლებელია ფირზე დახატვით. თუ ფანქარს აიღებთ და ლენტის შეღებვას ნებისმიერი ადგილიდან გადაბრუნების გარეშე დაიწყებთ, ბოლოს ლენტი მთლიანად გადაიღებება.

თუ ვინმე ცდილობს მობიუსის ზოლის ზედაპირის მხოლოდ ერთი მხარის დახატვას, მაშინ უმჯობესია დაუყოვნებლივ ჩაეფლო იგი საღებავების თაიგულში, მობიუსის ზოლის ზედაპირი უწყვეტია.

ამის გადამოწმება მარტივად შეიძლება შემდეგნაირად: თუ ფირზე სადმე წერტილს დააყენებთ, მაშინ ის შეიძლება დაუკავშირდეს ფირის ზედაპირზე ნებისმიერ სხვა წერტილს კიდეზე გადაკვეთის გარეშე. ამრიგად, აღმოჩნდება, რომ ამ ობიექტის ზედაპირი უწყვეტია.

Möbius ზოლს არ აქვს ორიენტაცია
თუ შეგეძლოთ მობიუსის მთელი ზოლის გავლა, მაშინ იმ მომენტში, როდესაც დაბრუნდებით მოგზაურობის საწყის წერტილში, თქვენ გადაიქცევით საკუთარი თავის სარკისებურად.

თუ ლენტი შუაზე სიგრძეზეა გაჭრილი, მაშინ ამ შემთხვევაში მიიღებთ მხოლოდ ერთ ლენტს, თუმცა ლოგიკა ამბობს, რომ ორი უნდა იყოს, ხოლო თუ გაჭრით, კიდედან უკან დაიხევთ სიგანის მესამედით. ფირზე, თქვენ მიიღებთ ერთმანეთთან დაკავშირებულ ორ რგოლს - პატარა და დიდი. მას შემდეგ რაც გავაკეთეთ პატარა რგოლის გრძივი მონაკვეთი შუაში, ბოლოს მივიღებთ იმავე ზომის ორ გადახლართულ რგოლს, მაგრამ განსხვავებულ სიგანეში.

Möbius ზოლის პრაქტიკული გამოყენება
უკვე საკმაოდ ბევრი გამოგონებაა დაფუძნებული ამ უჩვეულო ტოპოლოგიური ობიექტის თვისებებზე. მაგალითად, მელნის ლენტი წერტილოვანი მატრიცის პრინტერებში, გადაბმული Mobius-ის ზოლში, გაცილებით მეტხანს ძლებს, რადგან ამ შემთხვევაში ცვეთა თანაბრად ხდება მთელ ზედაპირზე. და ამ გეომეტრიული ობიექტის ფორმაში დაგრეხილი სამზარეულოს მიქსერის ან ბეტონის მიქსერის პირები ამცირებს ენერგიის ხარჯებს 20%-ით და ამავდროულად უმჯობესდება მიღებული ნარევის ხარისხი.

არსებობს ჰიპოთეზა, რომ დნმ-ის პოლიმერი, რომელიც არის ორმაგი სპირალი, არის მობიუსის ზოლის ფრაგმენტი და ამ მიზეზით დნმ-ის კოდის გაშიფვრა და გაგება ძალიან რთულია.

ზოგიერთი ფიზიკოსი ამბობს, რომ ოპტიკური ეფექტები ეფუძნება იმავე თვისებებს, რაც აქვს ამ პარადოქსულ ობიექტს, ამიტომ სარკეში ჩვენი ასახვა არის მობიუსის ზოლის ერთ-ერთი თვისების განსაკუთრებული შემთხვევა.

კიდევ ერთი ჰიპოთეზა, რომელიც დაკავშირებულია ამ მათემატიკურ ობიექტთან, არის ის, რომ ჩვენი სამყარო შესაძლოა დახურული იყოს ასეთ ლენტაში და მას აქვს საკუთარი სარკისებური ასლი. იმის გამო, რომ თუ ჩვენ ყოველთვის მივიწევთ ერთი მიმართულებით მობიუსის ზოლის გასწვრივ, მაშინ, საბოლოოდ, აღმოვჩნდებით ჩვენი მოგზაურობის საწყის წერტილში, მაგრამ საკუთარ სარკეში.

იდუმალი კლეინის ბოთლი
Möbius-ის ზოლზე დაფუძნებული კიდევ ერთი საოცარი ფიგურაა - Klein-ის ბოთლი. ეს არის ბოთლი, რომელსაც ბოლოში ნახვრეტი აქვს. ბოთლის კისერი წაგრძელებული და მოხრილია, გადადის თავად ბოთლის ერთ-ერთ კედელში.

კლეინის ბოთლი

ასეთი ფიგურის რეპროდუცირება შეუძლებელია ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან სივრცეში, რადგან კისერი არ უნდა ეხებოდეს ბოთლის კედელს და უნდა იყოს დაკავშირებული მის ძირში არსებულ ნახვრეტთან. ეს იწვევს ზედაპირს, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი მხარე. Klein ბოთლი და Möbius ზოლები კვლავ იპყრობს მეცნიერებისა და მწერლების ყურადღებას.

A. Deitch-მა ერთ-ერთ მოთხრობაში დაწერა იმის შესახებ, თუ როგორ გადაიკვეთა ერთ დღეს ლიანდაგები ნიუ-იორკის მეტროში და მთელი მეტრო დაემსგავსა მობიუსის ზოლს, ხოლო ლიანდაგზე მოძრავი ელექტრო მატარებლები გაუჩინარდნენ და ხელახლა გამოჩნდნენ მხოლოდ რამდენიმე თვეში. მოგვიანებით.

ალექსანდრე მიჩის წიგნში The Giveaway Game გმირები აღმოჩნდებიან სივრცეში, რომელიც კლაინის ბოთლს წააგავს.

სამყარო ჩვენთვის ჯერ კიდევ უზარმაზარ საიდუმლოდ რჩება და ვინ იცის, კოსმოსური მეცნიერების სხვა უცნაურობებს უახლოეს მომავალში აღმოაჩენენ.

მასტერკლასი "მობიუსის ზოლის სიურპრიზები" - შეიმუშავა მათემატიკის მასწავლებელმა MBOU „გიმნაზია No1“, რუზაევკა ხანინა მ.ფ.

შუადღე მშვიდობისა, ძვირფასო კოლეგებო! დღეს მინდა გაიხსენოთ ერთი საოცარი ობიექტი და ნახოთ, როგორ შეგიძლიათ მარტივი ექსპერიმენტების დახმარებითგააცანით ბავშვებს ცალმხრივი ზედაპირის კონცეფციადა მისი საოცარი თვისებები,იმის გადმოცემა, რომ მათემატიკური ობიექტები და კანონები გამოიყენება ორივეში Ყოველდღიური ცხოვრებისდა ხელოვნებაში.

ბლეზ პასკალი, დიდი ფრანგი ფიზიკოსი და მათემატიკოსი, ამტკიცებდა: „მათემატიკის საგანი იმდენად სერიოზულია, რომ სასარგებლოა არ გამოტოვო შესაძლებლობა, რომ ის ცოტათი გასართობი იყოს“.

ნაკვეთი. (სლაიდი 2)

IN მატარებელი No86 პარკ-სტრიტის სადგურიდან გავიდა, მაგრამ არც შემდეგ სადგურზე გამოჩენილა და არც დეპოში, უკვალოდ გაუჩინარდა მძღოლთან და დაახლოებით 350 მგზავრთან ერთად.

ალგებრის პროფესორი როჯერ ტუპელო გაზეთებში მომხდარის შესახებ წაკითხვის შემდეგ მიდის ქალაქის მეტროს მთავარ მენეჯერთან, კალვინ უაითთან, რათა მოახსენოს თავისი ჰიპოთეზა მატარებლის გაუჩინარების შესახებ. Tupelo-ს ცნობით, ახალი Boylston Line-ის გახსნის შემდეგ ბოსტონის მეტროს ტოპოლოგიური თვისებები შეიცვალა და მატარებელი დასრულდა ქ. . შეცდომით მას შეშლილად, უაითი აგზავნის ტუპელოს გარეთ.

თუმცა, უაითისთვის მალევე ცხადი ხდება, რომ მატარებელი მართლაც სადღაც მეტროში მდებარეობს. ამრიგად, მატარებელი No86 პერიოდულად ავტომატურად იწერება ქ სხვადასხვა ნაწილებიმეტრო, ელექტროენერგიას მოიხმარს, მაგრამ არავინ ხედავს, თუმცა მისი ხმაური ისმის. გადაწყდა, რომ არ დაიხუროს ახალი ხაზი, იმ იმედით, რომ მატარებელი დაბრუნდება.

გადის ორი თვე. ერთ დილით, უნივერსიტეტისკენ მიმავალ გზაზე, ტუპელო მეტროში ჯდება და შენიშნავს, რომ მგზავრი კითხულობს გაზეთს, რომელიც დათარიღებულია მატარებლის გაუჩინარების დღით. ის ურტყამს ვაგონს, ამოწმებს გაზეთების თარიღებს სხვა მგზავრებისგან და ზოგიერთ მათგანს ორი თვის წინანდელი გაზეთებიც აქვს. ტუპელო სიგნალის კაბელს აცლის და მატარებელი ჩერდება. მათემატიკოსი მგზავრებსა და მძღოლს უცხადებს, რომ უკვე ორი თვე გავიდა და სთხოვს, გადაამოწმონ თავიანთი სიტყვები წინა სადგურზე ვაგონში ჩასული მგზავრების გაზეთების თარიღით. ტუპელო გვირაბში გადის და ტელეფონს ეშვება, რომელსაც მეტროს შტაბ-ბინასთან დასაკავშირებლად იყენებს. ის იტყობინება, რომ 86-ე მატარებელი საბოლოოდ იპოვეს და ყველა მგზავრი ცოცხალი და ჯანმრთელია.

უაითთან შეხვედრისას როჯერ ტუპელო სთხოვს მას Boylston Line-ის დახურვას, მაგრამ უაითი პასუხობს: „უკვე გვიანია. ოცდახუთი წუთის წინ მატარებლის ნომერი 143 გაუჩინარდა ეგლესტონისა და დორჩესტერის სადგურებს შორის.

ეს იყო არმინ დეიჩის სამეცნიერო ფანტასტიკის სიუჟეტი.მობიუსის ზოლი“.იგი პირველად გამოქვეყნდა რუსულად ჟურნალში " » 1969 წელს.ბოსტონის მეტრო აშენებს ახალ ხაზს, რომლის მარშრუტი იმდენად დამაბნეველი ხდება, რომ გადაიქცევა მობიუსის ზოლად, რის შემდეგაცმატარებლები ქრება.

მობიუსის ზოლის აღმოჩენის ისტორია. ( სლაიდი 3)

იდუმალი და ცნობილი მობიუსის ზოლი 1858 წელს გამოიგონა გერმანელმა მეცნიერმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა (1790-1868), მათემატიკოსთა „მეფის“ გაუსის სტუდენტმა.

მობიუსი თავდაპირველად ასტრონომი იყო, ისევე როგორც გაუსი და მრავალი სხვა, ვისაც მათემატიკა ევალება თავის განვითარებას. იმ დღეებში მათემატიკა არ იყო მხარდაჭერილი და ასტრონომია აძლევდა საკმარის ფულს, რომ არ ეფიქრა მათზე და ტოვებდა დროს საკუთარ აზრებს. და მობიუსი გახდა მე-19 საუკუნის ერთ-ერთი უდიდესი გეომეტრი.

68 წლის ასაკში მობიუსმა საოცარი სილამაზის აღმოჩენა გააკეთა. ეს არის ცალმხრივი ზედაპირების აღმოჩენა, რომელთაგან ერთ-ერთია Möbius ზოლები (ან ზოლები). მობიუსს ლენტის იდეა გაუჩნდა, როდესაც დააკვირდა მოახლე, რომელსაც შარფი არასწორად ეკეთა კისერზე.

როგორ მივიღოთ Mobius ზოლები? (სლაიდი 4)

გადაატრიალეთ მართკუთხა ქაღალდის ზოლის ერთი ბოლო ნახევარი შემობრუნებით (180˚)(მოსახერხებელი ზომები: სიგრძე 30 სმ, სიგანე 3 სმ)და წებოთი იმავე ზოლის მეორე ბოლოზე. ამ მოდელს "მობიუსის ზოლს" უწოდებენ.

ტოპოლოგია ( სლაიდი 5)

მას შემდეგ, რაც გერმანელმა მათემატიკოსმა A.F. Möbius-მა აღმოაჩინა საოცარი ცალმხრივი ფურცლის არსებობა, დაიწყო მათემატიკის სრულიად ახალი ფილიალი, სახელწოდებით ტოპოლოგია (სხვაგვარად ცნობილი როგორც "პოზიციის გეომეტრია" ან "რეზინის გეომეტრია"). ტოპოლოგიაში შესწავლილია ფიგურებისა და სხეულების თვისებები, რომლებიც არ იცვლება მათი უწყვეტი დეფორმაციების დროს.

მობიუსის ზოლის საოცარი თვისებები: მას აქვს ერთი კიდე, ერთი მხარე - არ არის დაკავშირებული მის პოზიციასთან სივრცეში, მანძილის, კუთხის ცნებებთან და, მიუხედავად ამისა, აქვს სრულიად გეომეტრიული ხასიათი.

მოდი ჩავატაროთ რამდენიმე ექსპერიმენტი მობიუსის ზოლთან . ( სლაიდი 6)

გამოცდილება 1.

აიღეთ მომზადებული მობიუსის ზოლები და დაჭერით წებოვანი ლენტი შუაზე, წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ. როგორ ფიქრობთ, რა მოხდება?

აღმოჩნდა არა ორი რგოლი, არამედ ერთი, ორჯერ ვიწრო, მაგრამ ორჯერ გრძელი(ე.წ. "ავღანური ლენტი"). გარდა ამისა, იგი გადაუგრიხეს არა ერთხელ, არამედ ორჯერ.

გამოცდილება 2.

თუ ახლა ამ ლენტს დავჭრით სიგრძეზე შუაზე, მივიღებთ ერთმანეთზე გადაჭრილ ორ ლენტს.

გამოცდილება 3.

No2 ექსპერიმენტის შედეგებიდან თითოეულ რგოლს შუაზე ვჭრით. ჩვენ ვიღებთ "ყვავილს" - ოთხ რგოლს ორი ნახევრად შემობრუნებით, ყველა ერთმანეთში.

გამოცდილება 4.

თუ ლენტს სამი ნახევრად შემობრუნებით გაჭრით, მიიღებთ ტრიფოლას კვანძად დახვეულ ლენტს.

მობიუსის ზოლის მოჭრა დამატებითი შემობრუნებით წარმოქმნის მოულოდნელ ფიგურებს, რომლებსაც პარადრომულ რგოლებს უწოდებენ.

გამოცდილება 5.

ახლა ვცადოთ ასეთი მოდელის გაკეთება: ABCD ზოლს გავჭრათ ნაპრალი და ერთი ბოლო გავავლოთ. ნახევარი შემობრუნება და წებო, როგორც ნაჩვენებიანახატი. ა ახლა გააგრძელეთ გაჭრა მთელი ზოლის გასწვრივ.Რა მიიღე?

შედეგი იყო მობიუსის ერთი ზოლი.

გამოცდილება 6.

ავიღოთ ზოლი, ერთხელ მოხრილი მის სიგრძეზე. მოდი, სრულ შემობრუნებას მოვატრიალოთ და ბოლოები დავაწებოთ, ერთი ბოლო მეორეზე დავადოთ. ახლა მოდით დავჭრათ წებოვანი ფირის ორმაგი ფენა მისი შუა ხაზის გასწვრივ - მივიღებთ წყვილად დაკავშირებულ სამ რგოლს.

შეგიძლიათ განაგრძოთ ექსპერიმენტები მობიუსის ზოლთან განუსაზღვრელი ვადით და შედეგები განსხვავებული იქნება, იმისდა მიხედვით, ნახევარი მობრუნების რაოდენობა ლუწია თუ კენტი, შუაში იქნება ნაჭერი კიდედან 1/3 ან ¼ და ა.შ.

მათემატიკის სიმბოლო ( სლაიდები 7-8)

Რა თქმა უნდა, მთავარი ღირებულებამობიუსის ზოლი არის ის, რომ მან ბიძგი მისცა ახალი ფართო მათემატიკური კვლევისთვის. ამიტომ იგი ხშირად განიხილება თანამედროვე მათემატიკის სიმბოლოდ და გამოსახულია სხვადასხვა ემბლემებსა და სამკერდე ნიშნებზე, როგორიცაა, მაგალითად, მოსკოვის უნივერსიტეტის მექანიკა-მათემატიკის ფაკულტეტის სამკერდე ნიშანი.

მოებიუსის ზოლი მათემატიკის სიმბოლოა,
რაც არის უმაღლესი სიბრძნის გვირგვინი...
ის სავსეა არაცნობიერი რომანტიკით:
მასში უსასრულობა რგოლშია დახვეული.არის მასში სიმარტივე და მასთან ერთად სირთულე,
რაც მიუწვდომელია ბრძენთათვისაც კი:

აქ თვითმფრინავი ჩვენს თვალწინ გარდაიქმნა
ზედაპირზე და დასასრულის გარეშე.არ არსებობს საზღვრები, არ არსებობს საზღვრები,
იბრძოლეთ წინ და გახსენით სამყაროები,
იგრძენი ახალი შეგრძნებების ძალა,
მიიღეთ უმაღლესი საჩუქრების ცოდნა.

მობიუსის ზოლის გამოყენება ლიტერატურაში. ( სლაიდი 9)

მაგრამ არა მხოლოდ მათემატიკოსები იყვნენ შთაგონებული და განაგრძობენ შთაგონებას მობიუსის ზოლებით.

მობიუსის ზოლი მუდმივად არის ნახსენები ურალის მწერლის ვლადისლავ კრაპივინის ნაწარმოებებში, ციკლში "დიდი ბროლის სიღრმეში".

მობიუსის ზოლის რომანტიული აღწერა შეგიძლიათ იხილოთ ე. უსპენსკის მოთხრობაში "წითელი ხელი, შავი ფურცელი, მწვანე თითები".და ბევრ სხვაშიმუშაობს.ემას მრავალი ლექსი ეძღვნება.

Mobius ზოლის გამოყენება ტექნოლოგიაში. ( სლაიდი 10)

საკისარი მობიუსის ზოლის სახით მომსახურების ვადის გაზრდისთვის. უწყვეტი ფილმების ჩამწერი სისტემები ასევე იყენებდნენ Möbius ზოლებს (გაორმაგება ჩაწერის დროს).

წერტილოვანი მატრიცის პრინტერებში, მელნის ლენტს ჰქონდა Möbius ზოლის ფორმა, რათა გაზარდოს შენახვის ვადა.

კასეტები გამოიგონეს მაგნიტოფონებისთვის, სადაც ლენტი ტრიალდება და წებდება რგოლში, რაც შესაძლებელს ხდის ინფორმაციის ორივე მხრიდან ერთდროულად ჩაწერას ან წაკითხვას, რაც ზრდის კასეტის ტევადობას და შესაბამისად დაკვრის დროს.

1969 წელს საბჭოთა გამომგონებელმა გუბაიდულინმა შესთავაზა გაუთავებელი ქვიშის ქამარი მობიუსის ზოლის სახით.

მობიუსის ზოლის გამოყენება ხელოვნებაში. ( სლაიდი 11)

მობიუსის ზოლი ქანდაკებებისა და გრაფიკული ხელოვნების შთაგონებად იქცა.

Maurits Cornelis Escher იყო ერთ-ერთი მხატვარი, რომელსაც განსაკუთრებით უყვარდა იგი და მიუძღვნა თავისი რამდენიმე ლითოგრაფი ამ მათემატიკურ ობიექტს. მობიუსის ზოლს ვხედავთ ნაწარმოებებში "მხედრები" (1946), "მობიუსის ზოლები II (წითელი ჭიანჭველები)" (1963)

ლიზა რეი "სულელების გემი უსასრულობისკენ"

კიდევ ერთი საინტერესო ლითოგრაფია ჰქვია "Picture Gallery", რომელშიც ერთდროულად იცვლება სივრცის ტოპოლოგიაც და ლოგიკაც. ჩვენ ვხედავთ ბიჭს, რომელიც უყურებს ზღვისპირა ქალაქის ნახატს, რომელსაც აქვს მაღაზია სანაპიროზე, მაღაზიაში არის ხელოვნების გალერეა, ხოლო გალერეაში არის ბიჭი, რომელიც ათვალიერებს ზღვისპირა ქალაქის ნახატს.

1967 წელს, როდესაც ბრაზილიაში გაიმართა მათემატიკური საერთაშორისო კონგრესი, მისმა ორგანიზატორებმა გამოსცეს სამახსოვრო ბეჭედი ხუთი ცენტავოს ნომინალში. მასზე გამოსახული იყო მობიუსის ზოლი.

მობიუსის ზოლის გამოყენება სკულპტურასა და არქიტექტურაში. (სლაიდი 12)

ბიბლიოთეკის პროექტი ყაზახეთში. მუზეუმის მოსახვევები ქმნიან მობიუსის ზოლს, რითაც შიდა სივრცე მიედინება გარეში და პირიქით; ანალოგიურად, კედლები გადაიქცევა სახურავად, ხოლო სახურავი ისევ კედლებად გარდაიქმნება.

თანამედროვე ბუდისტური ტაძარი.

შენობა ტაივანის პარკისთვის.

ხიდის პროექტი ჩინეთში.

ქანდაკებები მოსკოვში, რიგაში, მინსკში.

Mobius ზოლის გამოყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაში. ( სლაიდი 13)

Mobius ზოლები შთააგონებს შემქმნელებს სამკაულები. მათ ნამუშევრებს შორის შეგიძლიათ იპოვოთ ბეჭდები და გულსაკიდი მობიუსის ზოლის სახით.

მის მიმართ გულგრილი არ დარჩენიათ ავეჯის მწარმოებლები. ამ მიმართულებით მათი მუშაობის ერთ-ერთი მაგალითია შეზლონგი, რომელიც არის მობიუსის ზოლი, რომელიც ერთმანეთზეა შეკრული მოხრილი ბრიტანული მუხისგან.

ფეხსაცმლის მწარმოებლებიც კი გახდნენ Mobius ზოლის თაყვანისმცემლები.

დიზაინერებსაც არ სურდათ განზე დგომა. მხატვარი და არქიტექტორი რონ არადი არის Moebius ზოლიანი პარფიუმერიის ბოთლის დიზაინის შემქმნელი.

დასკვნა

Möbius ზოლები გამოიყენება ცხოვრებაში და სხვადასხვა სფეროებშიინდუსტრია.

ის აღფრთოვანებს მწერლებსა და მხატვრებს, არქიტექტორებსა და მოქანდაკეებს, თავსატეხებს აჩენს და შთააგონებს შემოქმედებითი ხასიათის ადამიანებს.

იცის Mobius ზოლის თვისებები, შეგიძლიათ გააკეთოთ სასარგებლო და საჭირო ნივთები.

Möbius ზოლები ყველასთვის ცნობილი არ არის, მაგრამ ის არის ნაწილი იმისა, რაც ჩვენს გარშემოა ყოველდღიურ ცხოვრებაში!

Mobius ზოლები არის მარტივი, მაგრამ საოცარი რამ. ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე წამში და ამ ფენომენს აქვს ბევრი სიურპრიზი, ნიმუში და თვისება. პრაქტიკაში ამის გასაგებად, აიღეთ ქაღალდის ჩვეულებრივი ზოლები, წებო და დააკავშირეთ მისი ბოლოები. ოღონდ დარწმუნდით, რომ ერთი ბოლო მეორესთან შედარებით ნახევარი შემობრუნებით არის გადაბრუნებული. ასე რომ, ცნობილი Möbius ზოლები მზად არის.

ჩვენ შეგვიძლია უსასრულოდ ვისაუბროთ წარმოქმნილ იდუმალ ზედაპირზე. ჰკითხეთ საკუთარ თავს, რამდენი ზედაპირი აქვს ქაღალდის რგოლს. ორი? მაგრამ არა - მარტო. ამის შემოწმება ძალიან ადვილია. აიღეთ ფლომასტერი ან ფანქარი და შეეცადეთ გააფერადოთ ლენტის ერთი მხარე ისე, რომ არ გაიტეხოთ ან გადახვიდეთ მეორე მხარეს. მოხდა? სად არის მოუღებავი მხარე? Ის არის...

ფილმის სახელწოდება მისმა გამომგონებელმა: ავგუსტ ფერდინანდ მოებიუსმა, ლაიფციგის უნივერსიტეტის პროფესორმა მიანიჭა. მან თავისი ხანგრძლივი და ნაყოფიერი ცხოვრება მიუძღვნა სამეცნიერო მოღვაწეობას (ეს არის 78 წელი) და გონების სიცხადეს ინარჩუნებდა წასვლამდე. 75 წლის ასაკში პროფესორმა აღწერა ცალმხრივი ზედაპირის უნიკალური თვისებები აშკარა ორფენიანი სტრუქტურით. მას შემდეგ, გეომეტრიის, ფიზიკის და სულიერების საუკეთესო გონებამ ეს ობიექტი შორს და შორს გამოიკვლია.

თქვენ შეგიძლიათ ჩაატაროთ რამდენიმე ექსპერიმენტი მობიუსის ზოლის აკრეფით. ჯერ სცადეთ მისი გაჭრა სიგრძეზე შუა ხაზიმთელ ზედაპირზე. როგორ ფიქრობთ, რა მოხდება? ორი პატარა ბეჭედი? ისევ ერთი რამ არის არასწორი! წინაზე ორჯერ გრძელი, მაგრამ უკვე ორჯერ გადაუგრიხეს. ახლა მას ექნება ორი ზედაპირი და არა ერთი, როგორც პირველ შემთხვევაში. ამ ხვეულს ავღანურ ლენტს უწოდებენ და ის ასევე ფართოდ არის ცნობილი მკვლევარებისთვის. სხვათა შორის, სულიერებაში ამ ეფექტს უწოდებენ ორმაგობის სიმბოლოს და განიმარტება, როგორც ერთის ილუზორული აღქმა.

რა მოხდება, თუ კვლავ დახაზავთ გრძივი ხაზს, ოღონდ არა შუაში, არამედ კიდესთან ახლოს ფირის სიგანის მესამედით? გაჭერით მიღებული რგოლი და თქვენ უკვე გექნებათ ხელში ორი მათგანი: მობიუსის ზოლი და ავღანური ლენტი და გაუგებარი სახით ისინი ერთმანეთში ჩაიკეტება.

მაგრამ ეს არ არის ყველა სიურპრიზი. ფირზე რგოლში დაწებებისას შეეცადეთ გამოიყენოთ არა ერთი, არამედ ორი ქაღალდის ზოლები. შემდეგ კი სამი ან თუნდაც ოთხი. გარანტიას გაძლევთ: შედეგი კიდევ უფრო გაგაოცებთ!

საინტერესო ექსპერიმენტი შეიძლება ჩატარდეს ჰიპოთეტურადაც. ორმაგი მობიუსის ზოლის აღებით (ანუ ორი ზოლიდან ერთმანეთზე შეკრული) და მათ შორის თითის (ფანქრის, ხის ჯოხის) ჩასმით, შეგვიძლია მისი გადაადგილება ზოლებს შორის უსასრულოდ, რითაც დავამტკიცებთ, რომ ფიგურა შედგება ორი ცალკეული ნაწილისგან. . ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ამ ლენტებს შორის ბუზი დაცოცავს. ქვედა ზოლი იქნება მისთვის „იატაკი“, ზედა ზოლი იქნება „ჭერი“ და ასე შემდეგ უსასრულოდ.

მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი არც ისე მარტივია, როგორც ჩანს. ბოლოს და ბოლოს, თუ ბუზის მოგზაურობის დაწყების ნიშანს „იატაკზე“ დააყენებთ, მაშინ როცა მწერი წრეს აკეთებს, სწორედ ეს ნიშანი უკვე იქნება „ჭერზე“. და იმისათვის, რომ კვლავ "იატაკზე" წახვიდეთ, კიდევ ერთი წრე უნდა გააკეთოთ.

წარმოიდგინეთ, ბუზი ქუჩაში მიცოცავს. მისგან მარჯვნივ არის ლუწიანი სახლები, ხოლო მარცხნივ, შესაბამისად, კენტი რიცხვებით. გასეირნებისას, რაღაც მომენტში ჩვენი მოგზაური გაკვირვებით შეამჩნევს, რომ მარჯვნივ არის კენტი, მარცხნივ კი ლუწი რიცხვები! საშინელებაა ასეთი სიტუაციის წარმოდგენა ჩვენს რეალურ გზებზე მარჯვენა ტრაფიკით, რადგან მალე მოგიწევთ პირისპირ მოსიარულე სხვა ადამიანების წინაშე. აი რა არის - მობიუსის ზოლი...

ამ და სხვა შაბლონების გამოყენება აღმოჩნდა არა მხოლოდ ჰიპოთეტურ, არამედ რეალურ ცხოვრებაშიც. მაგალითად, ქამრები ბეჭდვის მოწყობილობებში, ავტომატური ტრანსმისიები, აბრაზიული რგოლი სიმკვეთრის მექანიზმებში და მრავალი სხვა, რაც თქვენ არც კი იცით, ლენტის საფუძველზე იქმნება. მართლაც, მობიუსის ზოლი არის საიდუმლო, რომლის შესწავლაც უსასრულოდ შეიძლება!

ყველამ იცის, რომ ჩვენს სამყაროს აქვს სამი განზომილება, რომ დედამიწა ბრუნავს მზის გარშემო, რომ ნებისმიერ ზედაპირს აქვს ორი მხარე: ზედა და ქვედა... მაგრამ თქვენ არასწორად გამოიცანით! არა რომელიმე. რადგან თურმე არის ზედაპირები, რომლებსაც მხოლოდ ერთი მხარე აქვთ და ეს მეცნიერულად დადასტურებულია.

ვინ არის გამომგონებელი?

ეს გეომეტრიული ფენომენი აღმოაჩინა თითქმის ერთდროულად, მაგრამ ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად, ორმა გერმანელმა მეცნიერმა: ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა და იოჰან ბენედიქტ ლისტინგმა (1858). ? თავად მათემატიკოსმა ის ქაღალდის ფურცლისგან დაამზადა და კაცობრიობისთვის ცნობილი პირველი ცალმხრივი ზედაპირი აღმოჩნდა. მანამდე ითვლებოდა, რომ შეუძლებელი იყო მოცემული ზედაპირის ერთი წერტილიდან, მისი კიდეების გადაკვეთის გარეშე, სხვაზე გადასვლა.

როგორ გააკეთოთ Möbius ზოლები საკუთარი ხელით?

შენ თვითონ შეგიძლია გააკეთე Möbius ზოლის მოდელიდა საკუთარი გამოცდილებიდან დარწმუნდი, რომ მას ნამდვილად აქვს ერთი მხარე. ყველაფერი ძალიან მარტივია. ამისათვის დაგჭირდებათ ქაღალდის ნაჭერი, მაკრატელი, წებო, ორი ფერის საღებავი და, რა თქმა უნდა, თქვენი დაუსრულებელი ცნობისმოყვარეობა.
დავიწყოთ ქაღალდის ზოლის ამოჭრით, რომლის ზომებია დაახლოებით 24x4 სმ. შემდეგ, სიცხადისთვის, მონიშნოთ კუთხეები ზოლის ერთ მხარეს, როგორც A და B, მეორეზე - C და D. შემდეგ, ქაღალდის ზოლი უნდა იყოს ერთხელ გადაუგრიხეს და დაწებეს ისე, რომ A კუთხე გასწორდეს D კუთხესთან, ხოლო B კუთხე გასწორდეს C კუთხესთან. მიღებულ ფიგურას ეწოდება Möbius-ის ზოლი.
ჩვენ თავად შევქმენით პროდუქტი, ახლა ჩვენ უბრალოდ უნდა გავარკვიოთ, როგორ შევამოწმოთ Mobius ზოლები ცალმხრივად. ამისათვის აიღეთ ნებისმიერი საღებავი და დაიწყეთ წარმოებული ფირის თანდათანობით შეღებვა ცალ მხარეს, სანტიმეტრი სანტიმეტრი, ყოველ შემთხვევაში მის კიდეზე გადასვლის გარეშე. მეორე მხარეს დავტოვებთ სხვა ფერის საღებავს. მალე გაირკვევა, რომ გამოსაყენებელი არაფერია, რადგან თეთრი ქაღალდი საერთოდ აღარ დარჩა. ასე რომ, მართალია, Möbius ზოლები არის ცალმხრივი ზედაპირი.
Möbius ზოლის მოჭრა ასევე იწვევს მოულოდნელ შედეგებს. როგორ გააკეთოთ ორი Mobius ზოლები ერთი, მაგრამ უფრო ვიწრო? როგორც ჩანს, ეს შეიძლება იყოს უფრო მარტივი: აიღეთ და გაჭერით ზუსტად შუაზე. მაგრამ არა ორი რგოლი იქმნება, როგორც მოსალოდნელი იყო, არამედ ერთი დიდი. ლენტის შემდგომი ამოჭრა სულ უფრო და უფრო გაგაოცებთ.

როგორ გახდა მობიუსის ზოლი შეუცვლელ აღმოჩენად

ეს ყველაფერი სასაცილო და ამაღელვებელია, მაგრამ Mobius ზოლები არ არის მხოლოდ საინტერესო სათამაშო. ბევრი მეცნიერი ფიქრობდა როგორ გავაკეთოთ მობიუსის ზოლი კაცობრიობისთვის გამოსადეგიიპოვნეთ მისი ღირსეული გამოყენება. დღესდღეობით დარეგისტრირებულია მრავალი ასეთი გამოგონება, მათ შორის ფილმზე ხმის ჩაწერის ორმხრივი მეთოდი ფილმის გადახვევის გარეშე და სპეციალური კასეტები ფირებისთვის. ხოლო 1969 წელს საბჭოთა გამომგონებელმა ა. გუბაიდულინმა მიიღო ავტორის სერთიფიკატი გაუთავებელი ქვიშის ქამარისთვის, რომელიც ერთდროულად მუშაობს ორივე მხარეს მობიუსის ზოლზე.
ზოგი საგონებელში ჩავარდა როგორ გავაკეთოთ Mobius ზოლებიუსასრულობის სიმბოლოს ერთგვარი „წინაპარი“, რადგან ნამდვილად შეგიძლიათ ფირის ზედაპირის სამუდამოდ გადატანა. მაგრამ ამ ფაქტმა არ გაამართლა, რადგან ეს სიმბოლო არსებობდა მობიუსის აღმოჩენამდე დიდი ხნით ადრე.
ეს ის საოცარი შესაძლებლობებია, რაც ზოგიერთ ერთი შეხედვით მარტივ ობიექტს აქვს.

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება "სუგუტსკაიას საშუალო სკოლა"

ბატირევსკის რაიონი

სუგუცოის საშუალო სკოლა

ზედამხედველი

თან. სუგუტი - 2007 წ

სამუშაოს მიზანი: თითოეულ ჩვენგანს აქვს ინტუიციური წარმოდგენა იმის შესახებ, თუ რა არის „ზედაპირი“. ფურცლის ზედაპირი, საკლასო ოთახის კედლების ზედაპირი, ზედაპირი გლობუსიყველასთვის ცნობილი. შეიძლება იყოს რაიმე მოულოდნელი და თუნდაც იდუმალი ასეთ ჩვეულებრივ კონცეფციაში? Möbius ზოლის მაგალითი აჩვენებს, რომ მას შეუძლია.

1. რა არის Möbius ზოლები?

2. დიდი მათემატიკოსი - ასტრონომი.

3. მსგავსი ობიექტები.

4.როგორ გავაკეთოთ მობიუსის ზოლები.

5. რამდენი გვერდი აქვს მობიუსის ზოლს?

6. გამოსაცვლელი ჯარისკაცი.

7. ექსპერიმენტები.

რა არის Möbius ზოლები?

(სხვა სახელია) - ტოპოლოგიური ობიექტი, უმარტივესი ცალმხრივი ზედაპირი კიდეებით. თქვენ შეგიძლიათ ამ ზედაპირის ერთი წერტილიდან მეორეზე გადახვიდეთ კიდეების გადაკვეთის გარეშე. დამოუკიდებლად აღმოაჩინეს გერმანელმა მათემატიკოსებმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა და 1858 წ. ადვილად შეიძლება გაკეთდეს. ამისათვის თქვენ უნდა აიღოთ საკმაოდ წაგრძელებული ქაღალდის ზოლი და დააკავშიროთ ზოლის ბოლოები, ჯერ ერთი მათგანი გადააბრუნოთ. ევკლიდეს სივრცეში, მოხვევის მიმართულებიდან გამომდინარე, არსებობს ორი სახის მობიუსის ზოლები: მემარჯვენე და მემარცხენე. მობიუსის ზოლს ზოგჯერ უწოდებენ უსასრულობის სიმბოლოს წინამორბედს, რადგან თუ თქვენ ყოფილხართ მობიუსის ზოლის ზედაპირზე, შეგიძლიათ სამუდამოდ გაისეირნოთ მის გასწვრივ. ეს სიმართლეს არ შეესაბამება, რადგან სიმბოლო გამოიყენებოდა უსასრულობის გამოსასახად ორი საუკუნით ადრე მობიუსის ზოლის აღმოჩენამდე. (იხ. უსასრულობის სიმბოლო) ტოპოლოგიური თვალსაზრისით, საჭე და წრე ერთი და იგივეა. რეზინის ნაჭერის დაწნევით და გაჭიმვით შეგიძლიათ ამ სხეულებიდან მეორეზე გადახვიდეთ. მაგრამ საჭე და ბურთი სხვადასხვა საგნებია: ხვრელის გასაკეთებლად საჭიროა რეზინის გახეთქვა.

ტოპოლოგია აუცილებელია თითქმის ყველა სპეციალობის მათემატიკოსებისთვის, ის ძალიან ლამაზია, მისი მეთოდები სხვებთან შედარებით, ამავდროულად იძლევა უფრო ზოგად, ძლიერ და მარტივ თეორემებს.

Möbius ზოლის დამზადება ძალიან მარტივია, დაიჭირე ხელში, გაჭრა, ექსპერიმენტი სხვა გზით. მობიუსის ზოლის შესწავლა კარგი შესავალია ტოპოლოგიის ელემენტებში: ეილერის თეორემა, შეღებვა, უნივერსალურობა, უწყვეტი რუქების კონცეფცია.

მობიუსი.

იდუმალი და ცნობილი მობიუსის ზოლი (ზოგჯერ მას მობიუსის ზოლს უწოდებენ) 1858 წელს გამოიგონეს. გერმანელი გეომეტრი ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსი (), "მათემატიკოსთა მეფის" გაუსის სტუდენტი. მობიუსი თავდაპირველად ასტრონომი იყო, ისევე როგორც გაუსი და მრავალი სხვა, ვისაც მათემატიკა ევალება თავის განვითარებას. იმ დღეებში მათემატიკა არ იყო მხარდაჭერილი და ასტრონომია აძლევდა საკმარის ფულს, რომ არ ეფიქრა მათზე და ტოვებდა დროს საკუთარ აზრებს. და მობიუსი გახდა მე-19 საუკუნის ერთ-ერთი უდიდესი გეომეტრი. 68 წლის ასაკში მან შეძლო საოცარი სილამაზის აღმოჩენა. ეს არის ცალმხრივი ზედაპირების აღმოჩენა, რომელთაგან ერთ-ერთია მობიუსის ზოლი.

მსგავსი ობიექტები.

ახლომდებარე "უცნაური" გეომეტრიული ობიექტია კლეინის ბოთლი. Klein-ის ბოთლის შექმნა შესაძლებელია მობიუსის ორი ზოლის კიდეებზე წებოვნებით. ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან ევკლიდეს სივრცეში ამის გაკეთება შეუძლებელია თვითგადაკვეთის შექმნის გარეშე.

კიდევ ერთი მსგავსი ნაკრები არის რეალური საპროექტო თვითმფრინავი. თუ თქვენ გააკეთებთ ხვრელს რეალურ საპროექციო სიბრტყეში, მაშინ ის, რაც დარჩება არის Möbius-ის ზოლი. მეორეს მხრივ, თუ დისკს დააწებებთ მობიუსის ზოლს, რომელიც შეესაბამება მათ საზღვრებს, შედეგი იქნება პროექციული სიბრტყე. ამის ვიზუალიზაციისთვის სასარგებლოა Möbius ზოლის გადახვევა ისე, რომ მისი საზღვარი გახდეს რეგულარული წრე. ასეთ ფიგურას ეწოდება "გადაჯვარედინებული სახურავი" (ჯვარედინი სახურავი ასევე შეიძლება ნიშნავდეს იმავე ფიგურას დამაგრებული დისკით, ანუ საპროექტო სიბრტყის ჩაძირვაში. რ 3).

არსებობს გავრცელებული მცდარი მოსაზრება, რომ გადაკვეთილი ქუდი არ შეიძლება ჩამოყალიბდეს სამ განზომილებაში თვითგადაკვეთის ზედაპირის გარეშე. რეალურად შესაძლებელია მობიუსის ზოლის მოთავსება რ 3 საზღვარი არის სრულყოფილი წრე. იდეა ასეთია: მოდით Cიქნება ერთეული წრე სიბრტყეში xyვ რ 3. ანტიპოდური წერტილების შეერთებით C, ანუ, წერტილები θ და θ + π კუთხით წრის რკალით, მივიღებთ, რომ θ-სთვის 0-დან π/2-ს შორის რკალი დევს სიბრტყის ზემოთ. xyდა სხვებისთვის θ უფრო დაბალია (და ორ ადგილას რკალი დევს სიბრტყეში xy).

შეიძლება აღინიშნოს, რომ თუ დისკი მიმაგრებულია სასაზღვრო წრეზე, მაშინ წარმოქმნილი საპროექტო სიბრტყის თვითგადაკვეთა გარდაუვალია სამგანზომილებიან სივრცეში. კვადრატის გვერდების დაზუსტების თვალსაზრისით, როგორც ზემოთ არის ნაჩვენები, რეალური საპროექციო სიბრტყე მიიღება დარჩენილი ორი მხარის ერთმანეთთან შეწებებით ორიენტაციის „შენარჩუნებისას“.

როგორ გააკეთოთ მობიუსის ზოლები.

ვიღებთ ქაღალდის ლენტას ABCD, რომელიც გავყოფთ შუა სიგანეზე წერტილოვანი ხაზით (იხ. ნახატი), ვახვევთ მის ბოლოებს AB და SD ერთმანეთს და ვაწებებთ ერთმანეთს. ოღონდ არა შემთხვევით, არამედ ისე, რომ A წერტილი ემთხვეოდეს D წერტილს, ხოლო B წერტილი ემთხვევა C წერტილს. წებოვნებამდე ერთხელ ვახვევთ ლენტს. შედეგი იყო ცნობილი ქაღალდის ბეჭედი მათემატიკაში. მას განსაკუთრებული სახელიც კი აქვს - MOBIUS-ის ფოთოლი. ახლა კი ჩვენ ვიყენებთ მაკრატელს, რომ დავჭრათ წებოვანი ლენტი შუაზე, წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ. რა თქმა უნდა, წებოვნებამდე ლენტი რომ არ დაგრეხილიყო, ყველაფერი მარტივი იქნებოდა: ერთი ფართო რგოლი ორ ვიწროდ გადაიქცევა. Ახლა რა?

რამდენი გვერდი აქვს მობიუსის ზოლს? ?

ზოლს, საიდანაც Möbius ზოლი მზადდება, აქვს ორი მხარე. მას კი, თურმე, მხოლოდ ერთი მხარე აქვს!

შევეცადოთ დავხატოთ მობიუსის ზოლზე - ნაწილ-ნაწილ, ზოლის კიდეზე გადასვლის გარეშე. Და რა? თქვენ დახატავთ მობიუსის მთელ ზოლს! „თუ ვინმე გადაწყვეტს მობიუსის ზოლის ზედაპირის „მხოლოდ ერთი“ მხარის დახატვას, უმჯობესი იქნება, დაუყოვნებლივ ჩაეფლოს იგი საღებავის ვედროში“, წერენ რიჩარდ კურანტი და ჰერბერტ რობინსი შესანიშნავ წიგნში „რა არის მათემატიკა“.

თუ ჩვეულებრივი რგოლის შიგნიდან ობობას დააყენებთ, გარედან კი ბუზს და ნებას დართეთ ისე ირბინონ, როგორც უნდათ, მხოლოდ ბეჭდის კიდეებზე ასვლას აუკრძალავთ, მაშინ ობობა ვერ შეძლებს მისვლას. ფრენა. და თუ ორივე დარგეს მობიუსის ზოლზე, მაშინ საწყალი ბუზი შეჭამს, თუ, რა თქმა უნდა, ობობა უფრო სწრაფად არ დაცოცავს.

ჯარისკაცი ცვალებადია.

გამოვკვეთე ქაღალდის ჯარისკაციდა გაგზავნა ის წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ, რომელიც გადიოდა მობიუსის ზოლის შუაში. და ასე დაუბრუნდა საწყის წერტილს. მაგრამ რა ფორმით! შებრუნებული! და იმისთვის, რომ სტარტს ნორმალურ მდგომარეობაში დაუბრუნდეს, მას კიდევ ერთი "მრგვალი ფოთლის" მგზავრობა სჭირდება. Შეამოწმე!

ექსპერიმენტები ყველასთვის.

ავიღოთ ლენტი, გავყოთ თითო მხარე სამ იდენტურ ზოლად და დავაწებოთ მობიუსის ზოლის ერთხელ გადახვევით. ჩვენ დავჭრით წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ. ლენტი რომ არ იყო დაგრეხილი, მაშინ ჯერ ერთ რგოლს მოვწყვეტდით, შემდეგ კი დანარჩენ ორს. სამივე რგოლი, თითოეული იგივე სიგრძით, როგორც ორიგინალი, მაგრამ ერთი მესამედი სიგანე. მაგრამ ჩვენ გვაქვს Möbius ზოლები. და, ქაღალდიდან მაკრატლის აწევის გარეშე, ჩვენ ერთდროულად ვჭრით ყველა წერტილოვანი ხაზის გასწვრივ და ვიღებთ ორ გადაჯაჭვულ რგოლს. ერთი მათგანი ორჯერ გრძელია, ვიდრე ორიგინალი და ორჯერ გადაუგრიხეს. მეორე არის Möbius ზოლები, რომლის სიგანე სამჯერ მცირეა, ვიდრე ორიგინალი.

დასკვნა: ეს ნამუშევარი დაეხმარება სტუდენტებს გააფართოვონ თავიანთი

ჰორიზონტი. ის გასწავლით, რომ იპოვოთ მოულოდნელი და თუნდაც იდუმალი ჩვეულებრივ კონცეფციაში.

ლიტერატურის გამოყენება:

1. კლასგარეშე სამუშაო მათემატიკაში.

2. მათემატიკური ყვავილების ბაღი.

3.მათემატიკის ისტორიის მოკლე ჩანახატი. დ.ია. მშენებლობა თარგმანი

გერმანულიდან და I. B. POGREBYSSKY-ის დამატებები.