ცარიელ სივრცესთან მუშაობა: რატომ მოქმედებს სიცარიელე ასე დიდ დიზაინზე. გაუმჯობესებული ტექსტის კითხვა

სივრცის შევსება პოლიედრით

რა პოლიედრები შეიძლება გამოვიყენოთ სივრცის შესავსებად ისე, რომ ნებისმიერ ორ პოლიედას ჰქონდეს საერთო სახე, ან საერთო კიდე, ან საერთო წვერო, ან არ ჰქონდეს საერთო წერტილები? სივრცის ამ შევსებას პოლიედრით ეწოდება სივრცითი პარკეტი.

ცხადია, თუ მრავალკუთხედებისგან შემდგარ სიბრტყეზე არის პარკეტი, მაშინ პრიზმები, რომელთა ფუძეები ეს მრავალკუთხედებია, წარმოქმნიან სივრცულ პარკეტს (სურ. 1). კერძოდ, სივრცითი პარკეტი შეიძლება შედგებოდეს თვითნებური პარალელეპიპედის, რეგულარული სამკუთხა პრიზმისგან, რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმისგან და ა.შ.

მოდით გავარკვიოთ, რომელი რეგულარული პოლიედრები შეიძლება გამოვიყენოთ სივრცითი პარკეტის დასამზადებლად. გაითვალისწინეთ, რომ სივრცის პოლიედრით შევსებისას, ერთ კიდესთან მიმდებარე პოლიედრების ორთავიანი კუთხეების ჯამი უნდა იყოს 360°. მაშასადამე, ამავე სახელწოდების რეგულარული პოლიედრებიდან, სივრცითი პარკეტის დამზადება შესაძლებელია მხოლოდ მათგან, ვისი ორმხრივი კუთხეები აქვთ ფორმას. .

რა თქმა უნდა, სივრცითი პარკეტი შეიძლება შედგებოდეს თანაბარი კუბებისგან. კუბის ორმხრივი კუთხეებია 90°.

მოდი ვიპოვოთ რეგულარული ტეტრაედრის ორმხრივი კუთხეები. დაე Ა Ბ Გ Დ- რეგულარული ტეტრაედონი 1 კიდით (ნახ. 2). ზემოდან ადა დპერპენდიკულარები დავყაროთ A.E.და DEზღვარზე ძვ.წ.. კუთხე AEDიქნება სასურველი დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე j. სამკუთხედში ADEჩვენ გვაქვს:

.

. საიდან φ ≈ 70°30".

ბრინჯი. 2

ამრიგად, თუ ერთ კიდეზე ექვსზე ნაკლები ტეტრაჰედრა იყრის თავს, მაშინ მათი ორწახნაგოვანი კუთხეების ჯამი 360°-ზე ნაკლებია, მაგრამ თუ ავიღებთ ექვს ან მეტ ტეტრაედას, მაშინ მათი დიედრული კუთხეების ჯამი იქნება 360°-ზე მეტი. შესაბამისად, სივრცითი პარკეტის დამზადება ჩვეულებრივი ტეტრაედრებისგან შეუძლებელია.

ვიპოვოთ რვაკუთხედის ორმხრივი კუთხეები. განვიხილოთ ჩვეულებრივი ოქტაედონი 1 კიდით (ნახ. 3).

ბრინჯი. 3

ზემოდან ედა ფპერპენდიკულარები დავყაროთ ᲛᲐᲒᲐᲚᲘᲗᲐᲓ.და FGზღვარზე ძვ.წ.. კუთხე EGF EGFჩვენ გვაქვს:

კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვპოულობთ . აქედან გამომდინარე φ ≈ 109°30". ამგვარად, თუ ოთხ ოქტაედრზე ნაკლები ემთხვევა ერთ კიდეზე, მაშინ მათი ორწახნაგოვანი კუთხეების ჯამი 360°-ზე ნაკლებია, მაგრამ თუ ავიღებთ ოთხ ან მეტ ოქტაედრას, მაშინ მათი დიედრული კუთხეების ჯამი იქნება. იყოს 360°-ზე მეტი, შესაბამისად, შეუძლებელია ჩვეულებრივი ოქტაედრების სივრცითი პარკეტის ჩამოყალიბება.

მოდი ვიპოვოთ იკოსაედონის დიჰედრული კუთხეები. განვიხილოთ ჩვეულებრივი იკოსაედონი 1 კიდით (ნახ. 4).

ბრინჯი. 4

სტატია გამოქვეყნდა რუსული ონლაინ ენციკლოპედიის „ენციკლოპედია.რუ“-ს მხარდაჭერით. ქსელური პროექტი "ენციკლოპედია.რუ" არის საიტის "ვიკიპედიის" ანალოგი. თავისუფალი ენციკლოპედია შეიცავს 10000-ზე მეტ სტატიას რუსულ ენაზე. შეგიძლიათ გაიგოთ მეტი პროექტის შესახებ, ნახოთ სტატიები და საზოგადოების პორტალი ვებგვერდზე, რომელიც განთავსებულია: http://ensiklopedia.ru/wiki/Main_page.

ზემოდან ადა Cპერპენდიკულარები დავყაროთ ა.გ.და C.G.ზღვარზე ბ.ფ.. კუთხე A.G.C.იქნება სასურველი დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე j. სამკუთხედში A.G.C.ჩვენ გვაქვს:

კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვპოულობთ . აქედან გამომდინარე, φ ≈ 138°11". ამგვარად, თუ სამ იკოსაედრაზე ნაკლები ემთხვევა ერთ კიდეს, მაშინ მათი დიედრული კუთხეების ჯამი 360°-ზე ნაკლებია, მაგრამ თუ ავიღებთ სამ ან მეტ იკოსაედრას, მაშინ მათი დიედრალური კუთხეების ჯამი იქნება. იყოს 360°-ზე მეტი, შესაბამისად, სივრცითი პარკეტის ჩამოყალიბება ჩვეულებრივი იკოსაედრების გამოყენებით შეუძლებელია.

ვიპოვოთ დოდეკედრის ორწახნაგოვანი კუთხეები. განვიხილოთ ჩვეულებრივი დოდეკაედონი 1 კიდით (ნახ. 5).

ზემოდან ადა Cპერპენდიკულარები დავყაროთ ა.გ.და C.G.ზღვარზე ბ.ფ.. კუთხე A.G.C.იქნება სასურველი დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე φ. ჩვეულებრივ ხუთკუთხედში Ა Ბ Ც Დ Ემხარეები თანაბარია . A.C.არის ამ ხუთკუთხედის დიაგონალი და ამიტომ . გარდა ამისა, .

კოსინუსების თეორემის გამოყენებით ვპოულობთ . აქედან გამომდინარე, φ ≈ 116°34". ამგვარად, თუ ერთ კიდეზე სამზე ნაკლები დოდეკაედონი იყრის თავს, მაშინ მათი ორწახნაგოვანი კუთხეების ჯამი 360°-ზე ნაკლებია, მაგრამ თუ ავიღებთ სამ ან მეტ დოდეკედრონს, მაშინ მათი ორწახნაგოვანი კუთხეების ჯამი იქნება. იყოს 360°-ზე მეტი, შესაბამისად, ასევე შეუძლებელია რეგულარული დოდეკედრონების სივრცითი პარკეტის ჩამოყალიბება.

ბრინჯი. 5

შედეგად, აღმოვაჩენთ, რომ ერთადერთი რეგულარული პოლიედონი, რომელსაც შეუძლია სივრცის შევსება, ანუ სივრცითი პარკეტის შექმნა, არის კუბი.

კუბის გამოყენებით შეგიძლიათ მოიყვანოთ სხვა პოლიედრების მაგალითები, საიდანაც შეგიძლიათ გააკეთოთ სივრცითი პარკეტი.

ასე, მაგალითად, კუბი შეიძლება დაიყოს ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდებად, რომელთა ფუძეები კუბის სახეებია, ზედა კი კუბის ცენტრი (ნახ. 6). ერთ-ერთი ასეთი პირამიდაა პირამიდა OABCD. თუ კუბების სივრცულ პარკეტში თითოეული კუბი იყოფა ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდებად, მაშინ ვიღებთ რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდების სივრცით პარკეტს.

ბრინჯი. 6

რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდა OABCD(ნახ. 7) შეიძლება დაიყოს ორ თანაბარ სამკუთხა პირამიდად OABCდა OACD. კუბების ასეთ პირამიდებად დაყოფა იძლევა სივრცულ პარკეტს, რომელიც შედგება სამკუთხა პირამიდებისგან - ტეტრაედრები. ერთეული კუბისთვის, ამ ტეტრაედრებს აქვთ ტოლი კიდეები . ტეტრაედონი OABCშეიძლება დაიყოს ორ თანაბარ ტეტრაედრონად OABPდა OBCP. ამ ტეტრაედრების კიდეები ტოლია ტეტრაედონი OABPთავის მხრივ, შეიძლება დაიყოს ორ თანაბარ ტეტრაედრონად OARPდა OBRP. ამ ტეტრაედრების კიდეები ტოლია და ბოლოს, ორი ტეტრაედრიდან ტოლია ტეტრაედრისთვის OABP, შეგიძლიათ გააკეთოთ ერთი ტეტრაედონი OABQ, საიდანაც შეგიძლიათ სივრცითი პარკეტიც. ამ ტეტრაედრის კიდეები ტოლია გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო ტეტრაედონის სახეები ტოლი ტოლფერდა სამკუთხედებია გვერდებით

ბრინჯი. 7

გამოდის, რომ არ არსებობს სხვა ტეტრაედრები, საიდანაც სივრცითი პარკეტის დამზადება შეიძლება, გარდა ზემოთ ჩამოთვლილი ოთხი ტეტრაედრისა (იხ.).

მოვიყვანოთ პოლიედრების სხვა მაგალითები, საიდანაც შესაძლებელია სივრცითი პარკეტის დამზადება.

სურათი 8 გვიჩვენებს რომბისებრ დოდეკაედრონს - მრავალწახნაგს, რომლის ზედაპირი შედგება თორმეტი თანაბარი რომბისგან. ბროწეულის კრისტალს აქვს რომბისებრი დოდეკედრის ფორმა. ამიტომ მას ასევე უწოდებენ გარნეტოედრონს.

ბრინჯი. 8

რომბოდოდეკედრონი შეიძლება მივიღოთ ორი კუბიდან შემდეგნაირად. მოდით დავჭრათ ერთ-ერთი კუბი ექვს თანაბარ რეგულარულ ოთხკუთხა პირამიდად კუბის ცენტრში წვეროებით, რომელთა ფუძეები კუბის სახეებია. მოდით, თითოეული ასეთი პირამიდა თავისი ფუძით მოვათავსოთ დაუჭრელი კუბის სახეზე. ვიღებთ რომბისებრ დოდეკაედრონს (სურ. 9).

ბრინჯი. 9

ახლა დავიწყოთ პარკეტის შექმნა. მოდით განვიხილოთ კუბურების სივრცითი პარკეტი, რომელიც შეღებილია შავ-თეთრად, ჭადრაკის ნიმუშით ისე, რომ მხოლოდ შავი და თეთრი კუბურები ეხებოდეს კიდეებს. მოდით, თეთრი კუბურები დავყოთ ჩვეულებრივ ოთხკუთხა პირამიდებად და მივამაგროთ მიმდებარე შავ კუბებზე. შედეგად ვიღებთ რომბისებრი დოდეკაედრების სასურველ სივრცულ პარკეტს.

რომბისებრი დოდეკედრის გამოყენებით ვაძლევთ მაგალითს სხვა მრავალწახნაგას, საიდანაც შესაძლებელია სივრცითი პარკეტის დამზადება.

ბრინჯი. 10

მოდით დავჭრათ რომბისებრი დოდეკაედონი სიბრტყით, რომელიც გადის მასში ჩაწერილი კუბის ცენტრში, კუბის ერთ-ერთი სახის პარალელურად. ჯვარი მონაკვეთი იქნება კვადრატული Ა Ბ Გ Დკუბის სახის დიაგონალის ტოლი გვერდით (ნახ. 10, ა). მოდით ჩავსვათ რეგულარული ოთხკუთხა პრიზმა რომბის დოდეკედრის ორ ნაწილს შორის. ჩვენ ვიღებთ პოლიედრონს, რომლის ზედაპირი შედგება თორმეტი სახისგან: რვა რომბი და ოთხი ექვსკუთხედი (ნახ. 10, ბ).

ვაჩვენოთ, რომ ასეთი დოდეკაედრებიდან შეიძლება სივრცითი პარკეტის გაკეთება. ამისათვის ჩვენ ვჭრით რომბისებრი დოდეკაედრების პარკეტს შავი კუბების ცენტრებში გამავალ სიბრტყეებად და შავი კუბის ერთი შერჩეული სახის პარალელურად. თითოეული ასეთი სიბრტყის გადაკვეთაზე რომბის დოდეკაედრონებთან ყალიბდება კვადრატების ბრტყელი პარკეტი. თითოეულ ჭრილში ვათავსებთ რეგულარულ ოთხკუთხა პრიზმებს, რომელთა ფუძეები ბრტყელი პარკეტის კვადრატებია. შედეგად ვიღებთ სასურველ სივრცულ პარკეტს.

მოვიყვანოთ მაგალითი სხვა პოლიედრონისა, საიდანაც შესაძლებელია სივრცითი პარკეტის დამზადება. მას რვაკუთხედს უწოდებენ და მიიღება რვაკუთხედიდან მისი წვეროებიდან რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდების მოწყვეტით, რომელთა გვერდითი კიდეები უდრის მოცემული რვაკუთხედის კიდის მესამედს (სურ. 11. ა). დამსხვრეული რვაკუთხედის სახეები არის ექვსი კვადრატი და რვა რეგულარული ექვსკუთხედი (სურ. 11, ბ).

ბრინჯი. თერთმეტი

მოდით დავჭრათ დამსხვრეული რვაფეხა რვა თანაბარ ნაწილად სიბრტყეებით, რომლებიც გადიან რვაკუთხედის საპირისპირო კიდეებზე (სურ. 12).

ბრინჯი. 12

თითოეული ასეთი ნაწილი არის კუბის ნახევარი, რომელიც მიიღება კუბის ჭრით იმ სიბრტყის გასწვრივ, რომელიც იძლევა კუბის მონაკვეთში რეგულარულ ექვსკუთხედს.

თუ ავიღებთ ორ თანაბარ შეკვეცილ რვაკუთხედს, ერთ-ერთს დავჭრით რვა თანაბარ ნაწილად და ამ ნაწილებს მივამაგრებთ მოუჭრელი რვაკუთხედის ექვსკუთხა სახეებს, მივიღებთ კუბს.

მოდით განვიხილოთ სივრცითი პარკეტი, რომელიც შედგება კუბებისგან, მათში ჩაწერილი რვაადედებით. ეს დამსხვრეული ოქტაედრები არ ავსებენ მთელ სივრცეს. მათ შორის ცარიელი ადგილებია. თუმცა, ეს სიცარიელეები განლაგებულია კუბების წვეროების ირგვლივ და წარმოადგენენ შეკვეცილი ოქტაედრების მერვეთა გაერთიანებას და, შესაბამისად, თავად არიან შეკვეცილი ოქტაედრები. ამრიგად, მთლიანი სივრცე დაყოფილი აღმოჩნდება შეკვეცილ რვაედებად და ნებისმიერი ორი ასეთი შეკვეცილი ოქტაედრა მიიღება ერთმანეთისგან პარალელური გადაცემით.

გაითვალისწინეთ, რომ ზემოთ განხილული სივრცითი პარკეტებიდან ხუთში პოლიედრები ერთმანეთის პარალელურად მდებარეობს. ეს არის პარკეტები, რომლებიც დამზადებულია ექვსკუთხა პრიზმებისგან, კუბებისგან (პარალელეპიპედები), რომბული დოდეკაედრებისაგან, დოდეკაედრონებისგან, რომლებიც მიღებულია რომბის თორმეტკუთხა პრიზმებისა და დამსხვრეული რვაკუთხა პრიზმების დამატებით.

ასეთ ამოზნექილ პოლიედრებს, საიდანაც შეიძლება შედგეს სივრცითი პარკეტი ისე, რომ ამ პარკეტიდან ნებისმიერი ორი პოლიჰედრის მიღება შესაძლებელია ერთმანეთისგან პარალელური გადათარგმნით, ეწოდება პარალელოედრები. საშინაო მათემატიკოსი და კრისტალოგრაფი ე.ს. ფედოროვმა (1853–1919) დაამტკიცა, რომ არსებობს მხოლოდ ხუთი ტიპის პარალელოედრონი: კუბი (პარალელეპიპედი), რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმა, შეკვეცილი რვაკუთხედი, რომბული დოდეკედრონი და დოდეკაედონი, რომელიც წარმოიქმნება რომბის დოდეკაედრონიდან (დოდეკეედრონი).

მოდით მოვიყვანოთ სივრცითი პარკეტის მაგალითები, რომლებიც შედგება რამდენიმე სხვადასხვა პოლიედრისგან.

ნახაზი 13 გვიჩვენებს პოლიედრონს, რომელსაც ეწოდება დამსხვრეული კუბი. მისი სახეებია რეგულარული სამკუთხედები და რვაკუთხედები. იგი მიიღება კუბიდან მისი წვეროებიდან რეგულარული სამკუთხა პირამიდების მოწყვეტით. პირდაპირი გამოთვლები აჩვენებს, რომ ერთეული კუბისთვის ამ პირამიდების გვერდითი კიდეები ტოლი უნდა იყოს . თუ კუბების სივრცულ პარკეტში ჩაანაცვლებთ კუბებს დამსხვრეული კუბებით, მაშინ მათ შორის იქნება სიცარიელეები ოქტაედრების სახით. ამრიგად, დამსხვრეული კუბურები და ოქტაედრები ქმნიან სივრცულ პარკეტს.

ბრინჯი. 13

სურათი 14 გვიჩვენებს პოლიედრონს, რომელსაც კუბოქტაედონი ეწოდება. მისი სახეებია ექვსი კვადრატი (კუბის მსგავსი) და რვა წესიერი სამკუთხედი (რვააედრის მსგავსი). ის მიიღება კუბიდან მისი წვეროებიდან რეგულარული სამკუთხა პირამიდების ამოჭრით, რომელთა გვერდითი კიდეები კუბის კიდის ნახევარს უდრის. თუ კუბების სივრცულ პარკეტში კუბებს ჩაანაცვლებთ კუბოკტაედრით, მაშინ მათ შორის დარჩება სიცარიელეები ოქტაედრის სახით. ამრიგად, კუბოკტაჰედრები და ოქტაჰედრები ქმნიან სივრცულ პარკეტს.

ბრინჯი. 14

განვიხილოთ სივრცითი პარკეტი, რომელიც შედგება კუბებისგან, მათში ჩაწერილი რეგულარული ტეტრაედრები (სურ. 15).

ბრინჯი. 15

ეს ტეტრაედრები არ ავსებენ მთელ სივრცეს. მათ შორის ცარიელი ადგილებია. თუმცა, ეს სიცარიელეები განლაგებულია კუბების მწვერვალების ირგვლივ და წარმოადგენს ოქტაედრის მერვეთა გაერთიანებას და, შესაბამისად, თავად ოქტაედრებია. ამრიგად, ჩვენ გვაქვს სივრცითი პარკეტი, რომელიც შედგება რეგულარული ტეტრაჰედრებისა და ოქტაედრებისგან.

სურათი 16 გვიჩვენებს პოლიედრონს, რომელსაც ეწოდება რომბიკუბოქტაედონი. მისი სახეები კვადრატები და რეგულარული სამკუთხედებია. იგი მიიღება ერთეული კუბიდან შემდეგნაირად. მოდით გადავიტანოთ კუბის სახეები მისი ცენტრიდან ტოლ მანძილზე . ამ სახეების წვეროები იქნება სასურველი რომბიკუბოქტაედრის წვეროები. ჩვენ შევავსებთ სივრცეს რომბიკუბოქტაჰედრებით, გავაერთიანებთ კუბის სახეებიდან მიღებულ მათ სახეებს. რომბოკუბოქტაჰედრის დარჩენილ კვადრატულ სახეებზე დავდებთ კუბებს, სამკუთხა სახეებზე კი მოვათავსებთ კუბოკტაედრებს. შედეგად ვიღებთ სივრცულ პარკეტს, რომელიც შედგენილია რომბიკუბოკტაჰედრებისგან, კუბებისგან და კუბოკტაედრებისაგან.

ნახაზი 17 გვიჩვენებს პოლიედრონს, რომელსაც ეწოდება დამსხვრეული კუბოქტაედონი. მისი სახეებია რეგულარული რვაკუთხედები, ექვსკუთხედები და კვადრატები. იგი მიიღება დამსხვრეული კუბიდან შემდეგნაირად. მოდი გადავიტანოთ წაჭრილი კუბის რვაკუთხა სახეები, რომლის კიდეები უდრის 1-ს, მისი ცენტრიდან ტოლი მანძილის მიმართულებით. . ამ სახეების წვეროები იქნება სასურველი შეკვეცილი კუბოქტაედონის წვეროები.

ჩვენ შევავსებთ სივრცეს დამსხვრეული კუბოკტაჰედრებით, გავაერთიანებთ მათ სახეებს, რომლებიც მიიღება რვაკუთხა კუბის სახეებიდან, ისე, რომ ერთი შეკვეცილი კუბოკტაედრის ექვსკუთხა სახეები ერთვის სხვა კუბოკტაედრის კვადრატულ სახეებს. ამ შეკვეცილ კუბოკტაედრებს შორის სიცარიელეებს ექნებათ შეკვეცილი ოქტაედრების ფორმა. ამგვარად, ეს დამსხვრეული კუბოკტაჰედრები და შეკვეცილი ოქტაედრები შექმნიან სივრცულ პარკეტს.

დასასრულს, გთავაზობთ სავარჯიშოებს დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის.

Სავარჯიშოები

1. შესაძლებელია თუ არა სივრცითი პარკეტის შექმნა თვითნებური:

ა) სამკუთხა პრიზმა;

ბ) ოთხკუთხა პრიზმა;

გ) ექვსკუთხა პრიზმა?

2. შესაძლებელია თუ არა პარკეტის გაკეთება რომელიმე ხუთკუთხა პრიზმისგან?

3. იპოვნეთ სახეების მიერ წარმოქმნილი ორმხრივი კუთხეები:

ა) ჩამოსხმული რვაფეხა;

ბ) რომბისებრი დოდეკაედონი.

4. რომელი მრავალწახნაგოვანი წვეროებია რომბის დოდეკედრის სახეების ცენტრები?

5. აჩვენეთ, რომ თანაბარი რეგულარული ოთხკუთხა და ექვსკუთხა პირამიდები შეიძლება გამოყენებულ იქნას სივრცითი პარკეტის შესაქმნელად.

6. იპოვეთ ტეტრაედრების ორმხრივი კუთხეები, საიდანაც შეიძლება სივრცითი პარკეტის გაკეთება.

7. შესაძლებელია თუ არა სივრცითი პარკეტის გაკეთება შვიდი კუბის შერწყმით მიღებული სივრცითი ჯვრისგან - მრავალწახნაგიდან (სურ. 18).

ბრინჯი. 18

8. ნახაზი 19 გვიჩვენებს მრავალწახნაგს, რომელსაც ეწოდება ვარსკვლავური რვაკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება ოქტაედრონის სახეების გაგრძელების შედეგად. იგი აღმოაჩინა ლეონარდო და ვინჩიმ, შემდეგ, თითქმის ასი წლის შემდეგ, ხელახლა აღმოაჩინა ი. კეპლერმა და დაასახელა მის მიერ. სტელა ოქტანგულა- რვაკუთხა ვარსკვლავი. რა რეგულარული პოლიედონი უნდა დაემატოს მას, რომ მათი გამოყენება შესაძლებელი იყოს სივრცითი პარკეტის შესაქმნელად?

ბრინჯი. 19

9. სიმეტრიის ცენტრის მქონე პოლიედრებისგან შემდგარი სივრცული პარკეტის სივრცითი პარკეტი, რომლის წვეროები არის ამ პარკეტის პოლიედრების ცენტრები. რა სივრცითი პარკეტია პარკეტის მიმართ ორმაგი: ა) კუბებისგან დამზადებული; ბ) რეგულარული სამკუთხა პრიზმები; გ) რეგულარული ექვსკუთხა პრიზმები?

10. იპოვეთ სივრცითი პარკეტები პარკეტებთან შედარებით:

ა) დამსხვრეული ოქტაედრებიდან;

ბ) რომბის ფორმის დოდეკედრონები;

გ) რომბისებრი დოდეკედრონებისაგან მიღებული დოდეკაედრები?

ლიტერატურა

1. ბონჩკოვსკი რ.ნ.სივრცის შევსება ტეტრაედრონებით // მათემატიკური განათლება, 1935, No4, გვ. 26-40. (ხელმისაწვდომია ვებგვერდზე www.mccme.ru)
2. დელონეი ბ., ჟიტომირსკი ო.პრობლემის წიგნი გეომეტრიაზე. - M.–L.: სახელმწიფო. რედ. ტექნიკურ-თეორია. ლიტერატურა, 1950. (ხელმისაწვდომია ვებგვერდზე www.mccme.ru)
3. სმირნოვა ი.მ., სმირნოვი ვ.ა.გეომეტრია. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებებში 10–11 კლასებისთვის. - M.: Mnemosyne, 2006 წ.

თითოეულ ადამიანს, როგორც ინდივიდს, უნდა ჰქონდეს საკუთარი ინტერესები, მიზნები და გეგმები. სხვა ადამიანზე დამოკიდებულება იბადება მაშინ, როცა მისი სივრცე სავსე არ არის. გახადე შენი ცხოვრება საინტერესო, დამაკმაყოფილებელი და აქტიური, რათა მოგვიანებით არ გაიხსენო დაუსრულებელი საღამოები ტელევიზორის წინ!

გამარჯობა, ეკატერინე!

გამარჯობა ოლგა!

მჭირდება თქვენი დახმარება, წავიკითხე თქვენი პასუხები საიტზე და ძალიან მომეწონა მათი სიმარტივე და სიმარტივე.

მითხარი, ოლია, ჩვენ ერთად გავარკვევთ.

ვარ 43 წლის. თითქმის სამი წელი გავიდა რაც მოსკოვში გადავედი. ვეძებთ დიდ ფულს. ქმარი ადრე გარდაიცვალა, მე და ჩემი შვილი 15 წელი მარტო ვცხოვრობდით. და აი, დავიწყე კაცთან ცხოვრება, ურთიერთობა დაიწყო იმ ქალაქში, საიდანაც მოვედი. მოსკოვშიც მუშაობს. მიშა ბევრს მესიამოვნა, ჩემს კეთილგანწყობას ეძებდა, მაგრამ დაწყების მაინც მეშინოდა.

გეშინოდა ისევ მარტო დარჩენის, დანაკარგის ხელახლა განცდის?

დიდი ალბათობით, კი, მაგრამ მაინც მოვახერხე ამის გამკლავება. და მას შემდეგ რაც მე მოსკოვში გადავედი, მან იქირავა ბინა და ექვსი თვის შემდეგ ჩვენ დავიწყეთ ერთად ცხოვრება და ორ წელზე მეტია ვცხოვრობთ. მაგრამ ახლა თავს არაკომფორტულად ვგრძნობ.

რასთან არის ეს დაკავშირებული?

როცა თქვენს საიტზე მოვედი, მივხვდი, რომ ჩვენი ურთიერთობა, მართალია კარგი იყო, მაგრამ ძალიან იყო დამოკიდებული, განსაკუთრებით ჩემი მხრიდან. და თუ ასე გაგრძელდა, მაშინ ისინი დიდხანს არ გაგრძელდებიან, მაგრამ მე მსურს უფრო ღრმა, ძლიერი, უფრო გრძელი, უფრო სანდო ურთიერთობა.

როგორ ვლინდება დამოკიდებულება თქვენს შემთხვევაში?

მასზე ბევრს ვფიქრობ, როცა ის იქ არ არის, ვიწყებ ფიქრს და თავში სევდიან სურათებს ვხატავ და მერე ვიწყებ დარეკვას. არა, დარეკვა კი არა, უფრო ზუსტად, დარეკვა. და მე მესმის ეს, მაგრამ საკუთარ თავთან ვერაფერს ვაკეთებ.

ოლია, სხვა ადამიანზე დამოკიდებულება იბადება მაშინ, როცა შენი სივრცე სავსე არ არის. როცა შენში სიცარიელეა და უცებ ჩნდება მამაკაცი, ივსები მისი პრობლემებით, საზრუნავებით, ინტერესებით, მიზნებით. ასე არ უნდა იყოს. თითოეულ ადამიანს, როგორც ინდივიდს, უნდა ჰქონდეს საკუთარი ინტერესები, მიზნები და გეგმები.

მესმის რაზეც საუბრობ. ახლა ვკითხულობ უამრავ ფსიქოლოგიურ ლიტერატურას და მესმის, რომ ჩემი პირადი სივრცე უფრო სახალისო და ხალისიანი უნდა იყოს: კომუნიკაცია, რაიმე სახის აქტივობა.

ოლგა, რა გიშლის ხელს მაშინ, რომ შეავსო შენი ადგილი?

დიდი ქალაქის სპეციფიკა ისეთია, რომ ჯერ ვერ მოვახერხე გაცნობა. სახლიდან სამსახურიდან, შედით მაღაზიაში - და ეს არის ის. ვერცერთ კურსზე ვერ დავდივარ. ძალიან ცოტა დრო რჩება საკუთარი თავისთვის. და კურსები ძალიან ძვირია. ჯერ ინგლისურზე მინდოდა წასვლა, მაგრამ ძალიან ძვირი ჩანდა. მითხარი, როგორ დავიწყო ჩემი კაცისგან „ჩამორჩენა“?

ოლია, მე მესმის, რომ ეს დიდი ქალაქია, არ არის ნაცნობები და ეს ყველაფერი. მაგრამ მინდა ვთქვა, რომ ეს ყველაფერი საბაბია. და სანამ თქვენ თვითონ არ დაიწყებთ ამ ახალი სასარგებლო ნაცნობების შექმნას, ისინი არასოდეს გამოჩნდებიან. თქვენ უკვე შესანიშნავი ადამიანი ხართ თქვენი მდგომარეობის გასაგებად და მის მოგვარებაში. შეაქო უკვე საკუთარი თავი ამისთვის. ცოტა ადამიანს შეუძლია ამის უნარი!!!

ნუ შეავსებთ თქვენს ძვირფას პირად სივრცეს ზედმეტი საუბრებით და დამამძიმებელი კომუნიკაციით. თქვენ არ უნდა შეავსოთ იგი რაიმე აქტივობით!!!

„მოხსნა“ დაიწყეთ იმით, რაც ახლა გაინტერესებთ. დაიწყეთ საკუთარი თავისთვის ნივთების ხელოვნურად შექმნა. დაკავდით მეტ-ნაკლებად საინტერესო საქმეებით. ახლავე - რას გააკეთებდი, რომ გქონდეს ყველაფერი? და დრო და სურვილი?

ისე, არ ვიცი. ალბათ საკუთარ თმას ვიკეთებდი. მე ძალიან მომწონს თმებზე ჩხუბი, თუნდაც სხვა ადამიანების თმაზე. მაგრამ ასეთი შესაძლებლობა იშვიათად ჩნდება.

ოლია, შესაძლებლობები უნდა შეიქმნას. რატომ, თუ არ გაქვთ მიზანი უცხოურ კომპანიაში სამუშაოდ წასვლა? თქვენ უნდა ისწავლოთ ენა რაიმე მიზეზის გამო, ან თუ ნამდვილად მოგწონთ, მაგრამ უბრალოდ არ უნდა გაიაროთ კურსები. ცოტა აზრი ექნება.

თუ მოგწონთ ვარცხნილობა და თმა, შეისწავლეთ პარიკმახერი და მაკიაჟი.

გულახდილად შეხედეთ საკუთარ თავს სარკეში და შეაფასეთ საკუთარი თავი. კარგად გამოიყურები? შეიძლება უკეთ გამოიყურებოდე? რა უნდა გაკეთდეს ამისთვის? შეისწავლეთ თქვენი სხეულის სტრუქტურა და აირჩიეთ თქვენთვის ახალი სტილი. (თუ საჭიროა).

აიღეთ ხატვა ან ქსოვა, სიმღერა ან ცეკვა, აირჩიეთ თქვენთვის. და ნუ შეიზღუდავთ თავს. ეძებეთ შესაძლებლობები. ფულის გარეშე - იპოვნეთ გზა უფასოდ ან მინიმალურ ფასად. დრო არ არის - იპოვნეთ როგორ დააკავშიროთ ერთი მეორესთან. ზოგადად, ეძებეთ შესაძლებლობები!

ჩვენ ქალები ვართ, მოქნილობა ჩვენს სისხლშია და შემოქმედებითი უნარები. მაშ შექმენი, რაშია საქმე?

რა უნდა გააკეთოს ქალმა ფსიქოლოგიური ჯანმრთელობისთვის:

1. ითამაშე შენი საყვარელი სპორტი.

2. იპოვეთ თქვენთვის სასურველი აქტივობები.

3. იარეთ მარტო 30 წუთის განმავლობაში მაინც.

4. , ნიღბები, მოვლა.

5. მასაჟი კვირაში 2-3-ჯერ.

6. მუსიკა თქვენი გემოვნებით.

7. ბავშვებთან და მოხუცებთან ურთიერთობა.

8. ქველმოქმედება.

9. კომუნიკაცია მენტორთან, უფრო სწორად, მენტორთან.

10. სარეკლამო წიგნების კითხვა.

ეს არის მინიმალური, რისი გაკეთებაც შეგიძლიათ თავისუფალ დროს.

გახადე შენი ცხოვრება საინტერესო, დამაკმაყოფილებელი და აქტიური, რათა მოგვიანებით არ გაიხსენო დაუსრულებელი საღამოები ტელევიზორის წინ!

დიდი მადლობა, ეკატერინე. მივხვდი, რომ თავს ვიზღუდავდი. შენ რომ იცოდე რამდენი ფსიქოლოგიური ლიტერატურა იკითხებოდა შენთან საუბრის წინ და ყველაფერი ისევ იქაა! Მადლობა კიდევ ერთხელ!

სიყვარულით, ფსიქოლოგი ეკატერინა კოვალევა

→ ცარიელი სივრცის შევსება. ხელნაწერები და დაბნეულობა.

ბოლოს როცა ვისაუბრე უფროსებისთვის საღებავ წიგნებზე, ამ ბლოგის თემაა ფურცლის ცარიელი სივრცის შევსება და ხატვის ისეთი ხერხები (ტექნიკები), როგორიცაა Zentangle, Doodling და მათი ჯიშები.

პირველი Zentangle ტექნიკა.პირველი, მოდით განვსაზღვროთ რა არის Zentangle. Zentangle არის რეგისტრირებული (ან ბრენდირებული) კონცეფცია, რომელიც აღნიშნავს მედიტაციურ ხატვის ტექნიკას. ტექნიკა ათ წელზე მეტი ხნის წინ შექმნეს ამერიკელმა მხატვარმა მარია თომასმა და რიკ რობერტსმა, რომელიც დიდი ხნის განმავლობაში იყო ბერი. ლექსიკონში ამ სიტყვის განმარტება არ არის. მაგრამ ის შედგება ორი ნაწილისგან - "ზენი" და "ტანგლი". "ზენი" არის "ზენი" (როგორც "ზენ ბუდიზმში") - სრული ფორმაგანმანათლებლობა. და "ტანგლი" ითარგმნება როგორც "პლექსუსი", "ჩახლართული ბურთი", "არეულობა". გამოდის, რომ Zentangle არის აბსტრაქტული დიზაინი, რომელიც შექმნილია განმეორებითი შაბლონების საფუძველზე. ამავდროულად, ხატვისას ადამიანი აღწევს მაქსიმალურ რელაქსაციას, მედიტაციის მსგავსად. Zentangle-ს ასევე უწოდებენ ზენის გრაფიკას ან მედიტაციურ ნახატს. სინამდვილეში, Zentangle არის, უპირველეს ყოვლისა, ჩაძირვა თავად ხატვის პროცესში. კონცენტრაცია ყველა ხაზზე. ნახატი არის როგორც დაგეგმილი, ასევე სპონტანური. დაგეგმილია იმის გამო, რომ გამოიყენება სპეციალური ჩახლართული შაბლონები (როგორც ცალკეულ ნიმუშებს, ასევე მზა დიზაინს უწოდებენ ჭუჭყს), შედგენილი ეტაპობრივად ცნობილი სქემის მიხედვით, რომელიც შედგება შეზღუდული რაოდენობის ელემენტებისაგან. სპონტანური - იმიტომ, რომ ჩახლართულების კომბინაცია და კონკრეტული შესრულება წინასწარ არ არის დაგეგმილი. ზოგადად, Zentangle-ში მთავარია, რომ პროცესი უფრო მნიშვნელოვანია, ვიდრე შედეგი.

თუ გსურთ ისწავლოთ Zentangle, მაშინ კიდევ ერთხელ გირჩევთ რიტა ნიკოლაევის სრულიად უნიკალურ საიტს: http://dotslinespatterns.com/category/zentangle-%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B1%D0% B5%D0% B7/

და აი ეს მშვენიერი საიტი. ინფორმაცია ძალიან ვრცელი და დეტალურია: http://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0 %D1 %82%D1%8C-%D0%97%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB

ჩვენი მეორე ტექნიკა არის Doodling (ან Zendudling). ან Doodle. Zentangle-ისგან განსხვავებით, ეს არის არაცნობიერი ნახატი, დაუგეგმავი და სპონტანურად განვითარებადი. Doodling ხდება მაშინ, როდესაც ჩვენ კონცენტრირებულნი ვართ სხვა რამეზე, ჩვეულებრივ დაკავშირებულია მოსმენასთან. ნახატი შედგება მარტივი ელემენტებისაგან - წრეები, სქელი, ბრილიანტი, წერტილები, ჩხირები და სხვა. თუმცა, ამ მარტივ ელემენტებს შეუძლიათ შექმნან რთული კომპოზიციები, რომლებიც აოცებენ ფანტაზიას. ისინი შეიძლება გაირეცხოს პატარა ნაკაწრებით, ან შეიძლება იყოს ძალიან რთული და მხატვრულად შევსებული.

დადლინგს აქვს ორი დადებითი ასპექტი:

- დოდლინგი, როგორც არაცნობიერი ნახატი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ „გამორთოთ ტვინი“, რაც გზას უხსნის სუფთა შემოქმედებითობას, წესებით არა შეზღუდული.

- პარადოქსულად დუდლინგი არ აშორებს ყურადღებას, მაგრამ ხელს უწყობს უჯრის ყურადღების შენარჩუნებას.

Doodling-ზე დაფუძნებული მთელი მიმართულებაც კი არსებობს - ეს არის ხელოვნების წიგნები, მაგრამ მათ შესახებ შემდეგ ჯერზე მოგიყვებით.

მესამე ტექნიკა არის Zenart (ან ZIA)– ზენარტი მიჩნეულია ხატვის წესებიდან ნებისმიერ გადახვევად - ფერადი ფლომასტერებით ხატვა, ან ნახატის ფერად შეღებვა, ან დიდი ფორმატის ან სქელი ქაღალდის, მაგალითად, ალბომის გამოყენება. ის ასევე ითვლება ზენარტად, თუ რაიმე სპეციფიკურს დახატავთ ჭუჭყით: ვარდი, ზღარბი, ბუ. ან დახატეთ კედლების ან ქსოვილის ჩანთის დიზაინი ქაღალდზე.

ძველი ბერძნების დროიდან მოყოლებული, ცნობილია ხუთი პლატონური მყარი - რეგულარული პოლიედრა, რომელიც გამოირჩევა სიმეტრიის უმაღლესი ხარისხით. ეს არის ტეტრაედონი, კუბი, ოქტაედრონი, იკოსაედონი და დოდეკედრონი, ისინი ნაჩვენებია ნახ. 1.

ადვილია მთელი სივრცის იდენტური კუბურებით შევსება სიცარიელის ან გადახურვის გარეშე ისე, რომ ნებისმიერი ორი მიმდებარე კუბი გადაიკვეთოს წვეროზე, კიდეზე, ან სახის გასწვრივ (ნახ. 2).

დავალება

ა) დაამტკიცერომ სხვა პლატონური მყარი არ იძლევა სივრცის ასეთ შევსებას.

ბ) ამუშავება, როგორ შეავსოთ სივრცე, თუ შეგიძლიათ გამოიყენოთ სხვადასხვა პლატონური მყარი.

მინიშნება 1

დავუშვათ, რომ არსებობს სივრცის გარკვეული შევსება პლატონური მყარი ნივთიერებებით (აუცილებლად არ არის იდენტური). განვიხილოთ ერთი მათგანის ზღვარი. მაშინ ამ კიდესთან მიმდებარე მრავალწახნაგოვანი კუთხეების ჯამი არის 360°.

მინიშნება 2

აჩვენეთ, რომ ოთხწახნაგოვანი კუთხეები ტეტრაედრის, ოქტაედრონის, იკოსაედრის და დოდეკაედრონის ტოლია, და შესაბამისად.

მინიშნება 3

აჩვენეთ, რომ სივრცე შეიძლება შეივსოს ტეტრაედრით და ოქტაედრით.

გამოსავალი

ჯერ მოდით შევხედოთ სივრცის კუბურებით შევსებას, რათა გავიგოთ, როგორ მიიღწევა ეს. დაე AB- ერთ-ერთი კუბის კიდე (ნახ. 3.). შემდეგ ეს არის კიდევ სამი კუბის კიდე. იმისათვის, რომ სივრცე შეივსოს სიცარიელეების გარეშე, დიედრული კუთხეების ჯამი, რომლის კიდე არის AB, უნდა იყოს 2 π . ვინაიდან კუბის დიედრული კუთხე არის π /2, მაშინ ოთხი ასეთი კუთხის ჯამი არის ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება.

ამგვარად, იმისათვის, რომ ნებისმიერი პლატონური მყარი კრამიტით დაფაროს სივრცეში პრობლემის დებულებაში მითითებული წესით, აუცილებელია, რომ ამ პლატონური მყარის დიედრული კუთხე ჰქონდეს 2-ის ფორმას. π /ნ, სად ნ- ორზე მეტი ნატურალური რიცხვი.

ახლა მოდით ვიპოვოთ ყველა სხვა პლატონური მყარი სხეულის დიედრული კუთხეები. დარწმუნდით, რომ არცერთი მათგანი არ შეიძლება იყოს წარმოდგენილი როგორც 2 π /ნ, დავამტკიცებთ პუნქტს ა). დავიწყოთ ტეტრაედრით.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ტეტრაედონის ყველა მხარე Ა Ბ Გ Დუდრის 1. მოდით მ- მხარის შუა ძვ.წ., დ.ჰ.- სიმაღლე (სურ. 4). შემდეგ წერტილი H არის სახის ცენტრი ABC, რაც ნიშნავს, რომ ის დევს სეგმენტზე ᲕᲐᲠ.და ყოფს მას 2:1 თანაფარდობით, დათვლის წერტილიდან ა. Იმის გათვალისწინებით ᲕᲐᲠ. = DM, აქედან გამომდინარეობს, რომ cos . ანუ ტეტრაედრის დიჰედრული კუთხე უდრის .

შემდეგი, განიხილეთ ოქტაედონი ABCDEF(ნახ. 5). როგორც ტეტრაედრონთან დაკავშირებით, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ოქტაედრონის თითოეული გვერდის სიგრძეა 1. მოდით M იყოს გვერდის შუა წერტილი. ბ.ფ., ა.ჰ.- პერპენდიკულარული ჩამოვარდა თვითმფრინავზე BCFწერტილიდან ა, ჰ 1 და ჰ 2 - სახეების ცენტრები BCFდა ADEშესაბამისად. მერე ᲕᲐᲠ. = ᲡᲛ., აჰჰ 1 ჰ 2 არის მართკუთხედი და . გარდა ამისა, . აქედან გამომდინარე, და . ამრიგად, ოქტაედრონის დიჰედრული კუთხე უდრის.

სანამ იკოსაედრონსა და დოდეკაედრონზე გადავიდოდეთ, უფრო ახლოს უნდა დავაკვირდეთ ჩვეულებრივ ხუთკუთხედს. შეუშვით ჩვეულებრივ ხუთკუთხედში PQRSTდიაგონალები PSდა QTიკვეთება ერთ წერტილში კ(ნახ. 6). ვინაიდან რეგულარული ხუთკუთხედის თითოეული კუთხე არის 3 π /5, შემდეგ კუთხეები ტოლფერდა სამკუთხედების ფუძეებზე PSTდა QTPთანაბარი π /5. ეს ნიშნავს, რომ კუთხეები ტოლფერდა სამკუთხედების ფუძეებზე KPQდა KTSტოლი 2 π /5; კერძოდ, ეს ნიშნავს, რომ რეგულარული ხუთკუთხედის ნებისმიერი დიაგონალი მას ყოფს ტოლფერდა სამკუთხედად და ტრაპეციად.

დავხატოთ სამკუთხედში KPQბისექტორი პ.მ.. მაშინ ამის დანახვა ადვილია KPM = π /5 და PKM = PMK = 2π /5. აქედან ვასკვნით, რომ ტოლფერდა სამკუთხედები KTSდა KPMმსგავსი. ეს ფაქტი საშუალებას გვაძლევს გამოვხატოთ ხუთკუთხედის ყველა ელემენტი PQRSTმისი მხარის სიგრძით.

მართლაც, სიმარტივისთვის ჩვენ ამას ვივარაუდებთ PQ= 1. მაშინ ქ = KQ= 1. აღვნიშნოთ კტმეშვეობით x. მერე PK = პ.მ. = MQ = x, კ.მ. = 1 – x. აქედან გამომდინარე,. ამ თანასწორობის გარდაქმნით მივიღებთ მიმართებას x 2 + x– 1 = 0, საიდანაც ვპოულობთ .

ახლა ადვილია სხვადასხვა ელემენტების პოვნა. ასე რომ, ჩვენთვის მნიშვნელობა აქვს, რომ 1 მხარის მქონე რეგულარული ხუთკუთხედის დიაგონალის სიგრძე არის . სხვა მნიშვნელოვანი წერტილი- ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები წერტილებში π /5 და 2 π /5. Მაგალითად,

გარდა ამისა, - ეს არის ჩვეულებრივი ხუთკუთხედის მხარე, რომელიც ამოიჭრება, თუ ხუთკუთხედში დავხატავთ PQRSTყველა დიაგონალი.

საბოლოოდ გადავიდეთ იკოსაედრონზე. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ მისი დიჰედრული კუთხე, საკმარისი იქნება განვიხილოთ იკოსედრონის „ქუდი“ - რეგულარული ხუთკუთხა პირამიდა. ABCDEF. დაე მ- მხარის შუა A.C.(ნახ. 7). მაშინ, თუ ვივარაუდებთ, რომ პირამიდის ყველა მხარე 1-ის ტოლია, ჩვენ ადვილად მივიღებთ , . კოსინუსების თეორემის მიხედვით, BD 2 = ბ.მ. 2 + DM 2 – 2 · ბ.მ. · DM cos BMD. ნიშნავს,

ამრიგად, იკოსაედრონის დიჰედრული კუთხე უდრის .

გადავიდეთ დოდეკაედრონზე. როგორც ყველა სხვა პლატონური მყარი, ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ მისი თითოეული კიდეების სიგრძე უდრის 1-ს. მოდით შემოვიტანოთ აღნიშვნა, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახ. 8. M იყოს გვერდის შუა წერტილი ძვ.წ.. შემდეგ საჭირო კუთხე EMGმისი პოვნა შესაძლებელია ტოლფერდა სამკუთხედის კოსინუსების თეორემის გამოყენებით EMG. რჩება მხოლოდ ამ სამკუთხედის გვერდების პოვნა.

EMG სამკუთხედის გვერდების პოვნა ადვილია. მართლაც,

რათა იპოვონ ᲛᲐᲒᲐᲚᲘᲗᲐᲓ., განიხილეთ დოდეკედრის მონაკვეთი სიბრტყით DEG(ნახ. 9). ეს თვითმფრინავი გამოკვეთს ექვსკუთხედს დოდეკაედრიდან DEKLGH, რომელი DE = KL = გ.ჰ.= 1 და HD = ე.კ. = გ.ლ.= (როგორც წესიერი ხუთკუთხედის დიაგონალი 1 გვერდით). სიმეტრიის მოსაზრებებიდან ირკვევა, რომ ექვსკუთხედი DEKLGHწრეში ჩაწერილი და DEG = EGH = KHG = π /3. ეს მიჰყვება სწორ ხაზებს DEდა ჰ.კ.პარალელურია და სამკუთხედი ჰ.გ.ი., სად მე- გადაკვეთის წერტილი ᲛᲐᲒᲐᲚᲘᲗᲐᲓ.და ხ.ხ, ტოლგვერდა. ნიშნავს, გ.ი. = გ.ჰ.= 1, ა EI = დ.ჰ.= . ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ᲛᲐᲒᲐᲚᲘᲗᲐᲓ. = გ.ი. + EI = .

დავუბრუნდეთ დოდეკედრის დიედრალურ კუთხეს. როგორც ჩანს სამკუთხედის კოსინუსების თეორემიდან EMG, EG 2 = EM 2 + GM 2– 2 · ე.მ. · GM cos EMG. ნიშნავს,

ამრიგად, დოდეკედრის დიჰედრული კუთხე უდრის.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ მიღებული შედეგების ანალიზი. როგორც თავიდანვე ვთქვით, იმისათვის, რომ გარკვეული პლატონური მყარის ასლებმა შეავსონ მთელი სივრცე უკვალოდ, აუცილებელია, რომ ამ პლატონური მყარის დიედრული კუთხე ჰქონდეს 2 ფორმას. π /ნ. ამ ტიპის კუთხეების კოსინუსების მნიშვნელობები, რომლებიც შეესაბამება მნიშვნელობებს ნ= 2, 3, 4, 5, 6 არის:

ვინაიდან ინტერვალზე ფუნქცია cos xმცირდება მონოტონურად, შემდეგ კუთხეების შესადარებლად საკმარისია მათი კოსინუსების მნიშვნელობების ერთმანეთთან შედარება. Მოდი გავაკეთოთ ეს.

ტეტრაედრის დიედრული კუთხე არის . კოსინუსებისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:< 1/3 < 1/2. Значит, 2π /5 > > 2π /6.

ოქტაედრონის დიედრული კუთხე არის . კოსინუსებისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: –1/2< –1/3 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.

იკოსაედრონის დიჰედრული კუთხე ტოლია . კოსინუსებისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: –1< –√5/3 < –1/2. Значит, 2π /2 > > 2π /3.

დოდეკედრის დიედრული კუთხე არის . კოსინუსებისთვის მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: –1/2< –1/√5 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.

ამრიგად, არცერთი პლატონური მყარის დიედრული კუთხეები, გარდა კუბისა, არის მე-2 ტიპის კუთხეები. π /ნ. ა) პუნქტი დადასტურებულია.

გადავიდეთ პრობლემის ბ) პუნქტზე. განვიხილოთ თანაბარი ოქტაედრები ABCDEFდა PQRCBS, რომლებსაც აქვთ საერთო კიდე ძვ.წ. მაშინ თუ ნეკნები ძვ.წ., DEდა QRდაწექი იმავე სიბრტყეში, შემდეგ წვეროებს შორის მანძილი ადა პუდრის მანძილს ოქტაედრის ცენტრებს შორის (სურ. 10). თუმცა, ეს უკანასკნელი ტოლია ოქტაედრის კიდის სიგრძეზე. ასე რომ, ტეტრაედრონში ABCPყველა მხარე თანაბარია და ის მართალია.

ეს მოსაზრება საშუალებას გვაძლევს შევავსოთ სივრცე ტეტრაჰედრებით და ოქტაედრებით საჭირო წესით. პირველ რიგში, ვაკეცავთ მათ ოთხკუთხა მილში (სურ. 11). ეს მილი განივი კვეთით იძლევა რომბს. თუმცა, ჩვენ შეგვიძლია დავფაროთ სიბრტყე ნებისმიერი ოთხკუთხედის (და მით უმეტეს რომბის) ასლებით, ხარვეზებისა და გადახურვების გარეშე (იხ. „ფილების“ პრობლემა). ამიტომ, მთელი სივრცე ასევე ადვილად ივსება ასეთი მილებით.

"წრეები წრეში") და ბურთები სივრცეში. იმისდა მიუხედავად, რომ თითქმის ყველა ფორმულირება ძალიან ბუნებრივად ჟღერს, ასეთი პრობლემები საკმაოდ რთულია და უმეტეს შემთხვევაში ისინი მხოლოდ გადაჭრის მოლოდინში არიან.

სხვა მეცნიერებების თვალსაზრისით, განსახილველი პრობლემა, უპირველეს ყოვლისა, საინტერესოა, რადგან მასზე პასუხი საშუალებას გვაძლევს ვიწინასწარმეტყველოთ, რა არის კონკრეტული ნივთიერების კრისტალების სტრუქტურა, როგორ ერწყმის სხვადასხვა ატომები და მოლეკულები. ქმნიან ამ კრისტალებს. გამოდის, რომ კრისტალები უმეტესად რეგულარულად არის განლაგებული, რაც შესაძლებელს ხდის მათ ერთგვაროვან აღწერას დისკრეტული გამოყენებით მოძრაობების ქვეჯგუფებისივრცე. კავშირი კრისტალებსა და მოძრაობათა ქვეჯგუფებს შორის აიხსნება შემდეგნაირად: სივრცის მოძრაობის თითოეული დისკრეტული ქვეჯგუფისთვის შეიძლება აირჩიოთ სივრცის ყველაზე დიდი დაკავშირებული ნაჭერი, რომლის ორი წერტილი არ შეიძლება გადაითარგმნოს ერთმანეთში ამ ქვეჯგუფის ნებისმიერი მოძრაობით. საერთოდ, ასეთი ცალი ბევრი შეიძლება იყოს; რომელიმე მათგანს ეძახიან ფუნდამენტური ტერიტორიამოძრაობების ქვეჯგუფები. იმ შემთხვევაში, როდესაც ფუნდამენტური დომენი შეზღუდულია, მოძრაობათა დისკრეტული ქვეჯგუფი ეწოდება კრისტალოგრაფიული. ეს სახელი ხსნის კავშირის ბუნებას: მოლეკულები და რეგულარულად განლაგებული კრისტალების ატომები ხშირად შეიძლება ჩაითვალოს მოძრაობის გარკვეული კრისტალოგრაფიული ჯგუფების ფუნდამენტურ რეგიონად.

ბრტყელი კრისტალოგრაფიული ჯგუფების რაოდენობაა 17. სამგანზომილებიან სივრცეში უკვე 219 კრისტალოგრაფიული ჯგუფია. მე-4 განზომილების სივრცეში ჯგუფების რაოდენობა კიდევ უფრო დიდია: 4783. თითოეული ასეთი ჯგუფი წარმოქმნის სიბრტყის ან სივრცის გარკვეულ დაყოფას იდენტურ ნაწილებად. მაგალითად, სიბრტყის დაყოფა თანაბარ კვადრატებად, რომელთა გვერდები უდრის 1-ს (ჩამწკრივებული ქაღალდი), წარმოიქმნება კრისტალოგრაფიული ჯგუფის მიერ, რომელიც შედგება ფორმის ყველა შესაძლო ვექტორზე პარალელური გადაცემისგან. მ, ნ), სად მდა ნ- მთელი რიცხვები, ასევე ბრუნვები კუთხეების მიხედვით π /4, π /2 და 3 π /4 კვადრატების ცენტრებთან და წვეროებთან შედარებით. მსგავსი კრისტალოგრაფიული ჯგუფი ქმნის სივრცის კუბურებით შევსებას. სივრცის რეგულარული შევსება ტეტრაედრით და ოქტაედრით ასევე შეესაბამება კრისტალოგრაფიულ ჯგუფს - ის შედგება ყველა ისეთი მოძრაობისგან, რომელიც ავსებს თავისთავად გადააქვს. თუმცა, არც ოქტაედონი და არც ტეტრაედონი არ იქნება მისი ფუნდამენტური რეგიონი.

ავტორისგან:ვებ დიზაინში, თეთრი სივრცე ეხება ტერიტორიებს ტექსტის ან სურათების გარეშე. შეიძლება ითქვას, რომ ეს არის „ვიზუალური სიჩუმე“. ჩვენი დიზაინის ფუნქციონირებისთვის აუცილებელია ცარიელი სივრცის სწორად შერწყმა და გამოყენებული სივრცე.

სანამ დაიწყებთ, უყურეთ ქვემოთ მოცემულ ვიდეოს. როუან ატკინსონი: კეთილი იყოს თქვენი მობრძანება ჯოჯოხეთში:

რა შეამჩნიე? რა თქმა უნდა, როუანის წარმოუდგენელი ჭკუა. მაგრამ შეგიმჩნევიათ როგორ იყენებს სიჩუმეს ხალხის გასაცინად? ამ ტექნიკას ეწოდება კომიკური დრო, ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი უნარი წარმატებული კომიკოსისთვის.

წარმოიდგინეთ როუან ატკინსონის შესრულება ამ პაუზების გარეშე. არც ისე სასაცილოა, რადგან დუმილი ხუმრობას სასაცილოდ ხდის. ამ სიჩუმეს ძალიან მნიშვნელოვანი ამოცანა აქვს.

იგივე შეიძლება ითქვას მუსიკაზეც. მიუხედავად იმისა, რომ იქ შეიძლება იყოს მხოლოდ სიმშვიდე რიტმის მკვეთრი მატებამდე და არა სრული სიჩუმე.

ყურადღება მიაქციეთ, როგორ ზემოთ მოცემულ მაგალითში ბიტი „ეცემა“ 0.45-ზე და 1.29-ზე? სიჩუმე დრამატიზმს მატებს მომავალ მოვლენებს. საცეკვაო ტრასაზე ავიღე, მაგრამ ბეთჰოვენის მეხუთე სიმფონიას ადვილად გადავიღებდი.

ორივე მაგალითში დუმილი არის კრიტიკული ფაქტორი ყურადღების მიპყრობისთვის. თეთრი სივრცე მუშაობს იმავე გზით. ვებ დიზაინში, თეთრი სივრცე ეხება ტერიტორიებს ტექსტის ან სურათების გარეშე. შეიძლება ითქვას, რომ ეს არის „ვიზუალური სიჩუმე“. ჩვენი დიზაინის ფუნქციონირებისთვის აუცილებელია ცარიელი სივრცის სწორად შერწყმა და გამოყენებული სივრცე.

მიუხედავად იმისა, რომ Google ყოველთვის არ იყო ცნობილი თავისი დიზაინის უნარებით, ისინი ყოველთვის დიდი მორწმუნეები იყვნენ თეთრი სივრცის, როგორც ჩანს მათ მთავარ გვერდზე. Google-მა დაიწყო მისი რედიზაინი, როდესაც მათი კონკურენტების გვერდები მოსწონს Yahoo! იყო მჭიდროდ შეფუთული ამინდის პროგნოზით, სიახლეებითა და ფოსტით. არაფრისმომცემი ინტერფეისი მომხმარებლებს საშუალებას აძლევდა ფოკუსირება მოახდინონ მთავარ ამოცანაზე - ინტერნეტის მოძიებაზე, ისე, რომ ყურადღება არ მიაქციონ მათ, რაც მათ არ სჭირდებათ.

ძნელია იმის დადგენა, თუ რამდენად რადიკალური იყო დიზაინის გადაწყვეტილებები ბოლო 20 წლის განმავლობაში, მაგრამ ჩვენ ვიცით, ვინ უნდა ვეძებოთ ამ მხრივ.

ორი სახის ცარიელი სივრცე

აქტიური თეთრი სივრცე: სივრცე დიზაინის ელემენტებს შორის, რომელიც ხშირად გამოიყენება ვიზუალური აქცენტისთვის და სტრუქტურისთვის. ეს არის ასიმეტრიული ტიპის სივრცე, რომელიც დიზაინს უფრო დინამიურს და აქტიურს ხდის.

პასიური თეთრი სივრცე: სივრცე სიტყვებს შორის ხაზის ან ლოგოების და სხვა გრაფიკული ელემენტების გარშემო.

შეხედეთ 500px მთავარ გვერდს და როგორ იყენებს ის აქტიურ და პასიურ თეთრ სივრცეს.

სივრცესთან მუშაობისას ჩვენ ძირითადად ვუყურებთ აქტიურ თეთრ სივრცეს, მაგრამ პასიურ სივრცეს ასევე სჭირდება საკმარისი ყურადღება და როგორ მუშაობს იგი დიზაინთან.

ორი ზომის ცარიელი ადგილი

მიკროსივრცე: ეს ტერმინი ეხება ცარიელი სივრცის მცირე ნაწილებს ასოებსა და სიტყვებს შორის, ასევე რამდენიმე გრაფიკულ ელემენტს შორის. ცარიელი მიკროსივრცის სწორად დაყენება ქმნის მთლიან ტონს მთელი დიზაინისთვის მისი ძირითადი კომპონენტის შეცვლის გარეშე. რაღაც რიტმის მსგავსი საცეკვაო სიმღერებში. სიმღერა იგივეა, მაგრამ რაღაცნაირად მძინარე.

ზემოთ მოცემულ ეკრანის სურათზე ნაჩვენებია ცარიელი მიკროსივრცე შესვლისა და დარეგისტრირების ღილაკებს შორის, ასევე სათაურსა და აბზაცს შორის.

მაკრო ცარიელი სივრცე: ეს ტერმინი აღწერს ცარიელ სივრცის დიდ რაოდენობას. მაგალითად, სივრცე სვეტებს ან აბზაცებს შორის. მაკრო სივრცის ოპტიმიზაციას ხშირად შეუძლია დრამატული ცვლილება მოახდინოს თქვენს დიზაინში, პოტენციურად გააუმჯობესოს ყურადღებისა და რიტმის ნაკადი ვებ გვერდზე.

Tumblr-ის დიზაინში, ცარიელი მაკრო სივრცე აშკარად ჩანს ცარიელ ქვედა ძირში და გვერდებზე.

თეთრი ცარიელი ადგილი?

ტერმინი თეთრი სივრცე გულისხმობს ფერის ან ტონის ნაკლებობას, რაც შეიძლება დამაბნეველი იყოს. თეთრი სივრცე შეიძლება იყოს ნებისმიერი ფერი, რომელიც წარმოადგენს სიცარიელეს თქვენს დიზაინში - ყვითელი, ლურჯი, მწვანე ან თუნდაც ტექსტურა (როგორც ტოდოისტის მაგალითი ქვემოთ).

ფერის თქვენს არჩევანს მნიშვნელობა არ აქვს, მაგრამ არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ფერები და ტექსტურები ბევრად უფრო სასიამოვნოა, ვიდრე მკვეთრი თეთრი. პრინციპი იგივე რჩება მაშინაც კი, თუ თქვენ აირჩევთ სხვა ფერს ან ტექსტურას.

სად და როგორ გამოვიყენოთ თეთრი სივრცე

თეთრი სივრცე და მოქმედებისკენ მოწოდება (CTA) ელემენტები

ყოველთვის წარმოიდგინეთ, რომ მომხმარებელმა არ იცის სად წავიდეს შემდეგ და დააპროექტოს თეთრი სივრცე სათანადოდ. იდეა მარტივია - თუ გვერდზე ღილაკის გვერდით არაფერია, მაშინ მასზე უნდა დააჭიროთ. პირიქით, თუ გვერდი გადატვირთულია ელემენტებით, მომხმარებელი ვერც კი შეამჩნევს ღილაკს ჭუჭყის გამო.

ვებ განვითარების თანამედროვე ტენდენციები და მიდგომები

გაეცანით ალგორითმს სწრაფი ზრდანულიდან ვებსაიტის მშენებლობაში

როგორც ზემოთ მოყვანილი სურათიდან ხედავთ, მეორე CTA ელემენტი ბევრად უფრო მიმზიდველია, ვიდრე პირველი, რადგან ის არ არის გადატვირთული სხვა ელემენტებთან.

თეთრი სივრცის გამოყენება ემოციური რეაგირებისთვის

დიზაინში ემოციების გამოწვევის მრავალი გზა არსებობს, მათ შორის შრიფტები, ფერი და გამოსახულება. ყველა ეს ტექნიკა ხელს უწყობს დრამის დამატებას, მაგრამ თეთრი სივრცე ყველაზე ძლიერი კომპონენტია და ყველაზე ნაკლებად ძვირი. ზოგი ამას კარგ ინვესტიციას უწოდებს.

ზემოთ მოცემულ სკრინშოტში ხედავთ, თუ როგორ იყენებს Todoist თეთრ სივრცეს სათაურის ირგვლივ, რაც ფონის სურათს ანათებს და პოზიტიურ განწყობას გადმოსცემს. მათ ასევე გადაიღეს ბედნიერი ბიჭის სურათი და არა აპლიკაცია, რაც ასევე დიდი პლუსია.

როგორ დავძლიოთ სიცარიელეების შევსების სურვილი

როგორც დიზაინერებს და ადამიანებს, ჩვენ გვაქვს ბუნებრივი სურვილი შევავსოთ ცარიელი სივრცე. როდესაც ვყიდულობთ დიდ კარადას, ავტოფარეხს ან სახლს, ამ ახალი სივრცის შევსებას დიდი დრო არ გვჭირდება.

ეს ჩვევა ხშირად გადადის დიზაინში. როგორც კი შევამჩნევთ ჩვენს დიზაინში ცარიელ ადგილს, ვიწყებთ ფიქრს: „რითი უნდა შევავსოთ იგი? ამგვარმა აზროვნებამ შეიძლება პრობლემები შეუქმნას დიზაინერებს.

არ შეავსოთ თქვენი დიზაინი ელემენტებით, შეეცადეთ მოათავსოთ ერთი CTA ღილაკი ცენტრში და შექმნათ "უსაფრთხო ზონა" (თეთრი სივრცე) მის გარშემო. დაიმახსოვრე, რომ ცარიელი ადგილი არ არის უსარგებლო სივრცე.

ვინ იყენებს კარგად თეთრ სივრცეს?

თავისი ისტორიის მანძილზე ფოლკსვაგენი იყო ჟურნალების რეკლამაში თეთრი სივრცის გამოყენების ოსტატი. მათი მარტივი, მაგრამ დინამიური განლაგება თავიდანვე გამოირჩეოდა ჟურნალის სტატიკური რეკლამებიდან.

მაკრო სივრცე აშკარად ჩანს მანქანის ზემოთ და ქვემოთ, რაც მანქანას ყურადღების ცენტრში აყენებს. ცარიელი სივრცის ასიმეტრია გვაიძულებს თვალი გადავიტანოთ მანქანის ირგვლივ, ტექსტისკენ და უკან დახევისკენ. თვალები არ ჩერდება. რა მოხდება, თუ VW-ს რეკლამას ცოტა გავუჭრით?

მანქანა ნაკლებად შთამბეჭდავი ჩანს;

მზერა ასე ადვილად აღარ აფრიალებს განლაგებას;

ძნელია წარადგინო ამბავი ადამიანზე, რომელიც გონება დაკარგა.

როგორც ქვემოთ მოცემულ სურათებში ხედავთ, 1960-იანი წლებიდან დღეს Volkswagen-მა დიდი ეფექტისთვის გამოიყენა ცარიელი სივრცე.

Volkswagen-თან შედარებით, Apple არის ახალბედა, მაგრამ უკვე დაამტკიცა, რომ არის თეთრი სივრცის დიზაინის დიდი მომხრე - მათი ვებსაიტებიდან, პროდუქტებიდან დაწყებული, Apple-ის მაღაზიის ცნობილი დიზაინითა და არქიტექტურით.

დასკვნა

ჩვენ გავიგეთ, რომ თეთრი სივრცე არ არის თეთრი და ასევე, რომ ეს არის ადგილი დიზაინში, სადაც არაფერი ხდება. უაღრესად მნიშვნელოვანი პრინციპი დიზაინში, რომელიც დიზაინერებმა არ უნდა დაივიწყონ. ეს არის თეთრი სივრცე, რომელიც წყვეტს, შეიძლება თუ არა გვერდის მუშაობა და საჭიროებს თუ არა რომელიმე ელემენტს დამატებითი ყურადღება.

ჩვენ გავიგეთ, რომ თეთრი სივრცე მოდის ორი ტიპის (აქტიური და პასიური) და ორი ზომის (მიკრო და მაკრო). ჩვენ გადავხედეთ კომედიაში თეთრი სივრცის ეკვივალენტის მაგალითს (კომიკური ტაიმინგი), როგორ აცინებს ის ადამიანებს და ასევე გადავხედეთ მუსიკაში თეთრი სივრცის მაგალითს.

ბოლოს, როგორც დიზაინერს, მინდა დავამატო „ნაკლები მეტია“. დაიწყეთ ამით თქვენს საქმიანობაში. თეთრ სივრცეს შეუძლია შექმნას ან დაარღვიოს დიზაინი. იმედი მაქვს, რომ ეს იდეები დაგეხმარება თქვენს მომავალ დიზაინში.