Fâșia Moebius este o descoperire uimitoare. Banda Möbius este unul dintre cele mai neobișnuite obiecte cu proprietăți foarte ciudate Cum se face o bandă Möbius din hârtie

Unul dintre cele mai simple și în același timp cele mai complexe și ciudate obiecte este banda Möbius. În ciuda întregii originalități a acestei figuri, o puteți face cu ușurință singur și puteți efectua toate experimentele descrise în acest articol.

O bandă Möbius este cea mai simplă suprafață neorientabilă care este unilaterală în spațiul tridimensional. Este adesea numită suprafața Möbius și este clasificată ca obiect continuu (topologic).

Potrivit legendei, astronomul, matematicianul și mecanicul german August Ferdinand Möbius a descoperit acest obiect după ce o servitoare care lucra în casa lui a cusut o panglică de țesătură într-un inel, răsturnând nepăsător unul dintre capete. Văzând rezultatul, în loc să o dojenească pe ghinionistă, Mobius a spus: „O da, Martha! Fata nu e chiar atât de proastă. La urma urmei, aceasta este o suprafață inelară unilaterală. Panglica nu are spate!”

August Ferdinand Mobius.

După ce a studiat proprietățile casetei, Mobius a scris un articol despre ea și l-a trimis Academiei de Științe din Paris, dar nu a văzut-o niciodată publicarea. Materialele sale au fost publicate după moartea matematicianului și o suprafață topologică neobișnuită a fost numită în cinstea lui.

Realizarea unei benzi Möbius este foarte simplă: luați o bandă ABCD și apoi pliați-o astfel încât punctele A și D să se conecteze la B și C.

Realizarea unei benzi Mobius. Rezultatul este o figură aparent obișnuită, care are proprietăți foarte interesante.

Proprietăți neobișnuite ale benzii Möbius

Unilateralism
Cu toții suntem obișnuiți cu faptul că suprafețele tuturor obiectelor pe care le întâlnim în lumea reală (de exemplu, o bucată de hârtie) au două fețe. Dar suprafața benzii Möbius este unilaterală. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință prin vopsirea peste bandă. Dacă luați un creion și începeți să colorați banda din orice loc fără a o întoarce, atunci în final banda va fi vopsită complet.

Dacă cineva încearcă să picteze doar o parte a suprafeței benzii Möbius, atunci este mai bine să o scufundați imediat într-o găleată de vopsea, suprafața benzii Möbius este continuă

Acest lucru poate fi ușor verificat după cum urmează: dacă puneți un punct oriunde pe bandă, atunci acesta poate fi conectat la orice alt punct de pe suprafața benzii fără a trece marginea. Astfel, se dovedește că suprafața acestui obiect este continuă.

Banda Möbius nu are orientare
Dacă ai putea străbate toată fâșia Mobius, atunci în momentul în care te-ai întoarce la punctul de plecare al călătoriei, te-ai transforma într-o imagine în oglindă a ta.

Dacă banda este tăiată pe lungime la mijloc, atunci în acest caz veți obține o singură bandă, deși logica spune că ar trebui să fie două dintre ele, iar dacă o tăiați, vă întoarceți de la margine cu o treime din lățimea. bandă, veți ajunge cu două inele legate între ele - unul mic și unul mare. După ce am făcut apoi o secțiune longitudinală a inelului mic în mijloc, în final vom obține două inele împletite de aceeași dimensiune, dar diferite ca lățime.

Utilizarea practică a benzii Möbius
Există deja destul de multe invenții bazate pe proprietățile acestui obiect topologic neobișnuit. De exemplu, banda de cerneală din imprimantele cu matrice de puncte, răsucită într-o bandă Mobius, durează mult mai mult, deoarece uzura în acest caz are loc uniform pe toată suprafața sa. Iar paletele unei baterii de bucătărie sau ale unei betoniere răsucite în forma acestui obiect geometric reduc costurile energetice cu 20%, iar în același timp calitatea amestecului rezultat se îmbunătățește.

Există o ipoteză că polimerul ADN, care este un dublu helix, este un fragment al unei benzi Mobius și din acest motiv codul ADN este atât de greu de descifrat și de înțeles.

Unii fizicieni spun că efectele optice se bazează pe aceleași proprietăți pe care le are acest obiect paradoxal, așa că reflectarea noastră în oglindă este un caz special al uneia dintre proprietățile benzii Mobius.

O altă ipoteză legată de acest obiect matematic este că Universul nostru însuși poate fi închis într-o astfel de bandă și are propria copie în oglindă. Pentru că dacă ne mișcăm mereu într-o singură direcție de-a lungul benzii Mobius, atunci, în final, ne vom regăsi în punctul de plecare al călătoriei noastre, dar în propria noastră imagine în oglindă.

Sticla misterioasă Klein
Bazat pe banda Möbius, există o altă figură uimitoare - sticla Klein. Este o sticlă cu un orificiu în partea de jos. Gâtul sticlei este alungit și curbat, trecând într-unul dintre pereții sticlei în sine.

Sticla Klein

O astfel de figură nu poate fi reprodusă în spațiul tridimensional obișnuit, deoarece gâtul nu trebuie să atingă peretele sticlei și ar trebui să fie conectat la o gaură în fundul acesteia. Acest lucru are ca rezultat o suprafață care are o singură parte. Sticla Klein și banda Möbius atrag în continuare atenția oamenilor de știință și a scriitorilor.

A. Deitch, într-una dintre poveștile sale, a scris despre cum într-o zi șinele s-au încrucișat în metroul din New York și întregul metrou a început să semene cu o bandă Mobius, iar trenurile electrice care circulau de-a lungul șinelor au început să dispară, reaparând doar în câteva luni. mai tarziu.

În cartea lui Alexander Mitch The Giveaway Game, personajele se găsesc într-un spațiu care seamănă cu o sticlă Klein.

Lumea rămâne încă un mister uriaș pentru noi și cine știe ce alte ciudatenii ale oamenilor de știință spațiali vor descoperi în viitorul apropiat.

Clasa de master „Surprizele benzii Mobius” - elaborat de profesorul de matematică MBOU „Gimnaziul nr. 1”, Ruzaevka Khanina M.F.

Bună ziua, dragi colegi! Astăzi vreau să vă amintiți un obiect uimitor și să vedeți cum, cu ajutorul unor experimente simple, putețiintroduceți copiii în conceptul de suprafață unilateralăși proprietățile sale uimitoare,pentru a transmite că obiectele și legile matematice se aplică atât în Viata de zi cu zi, iar în art.

Blaise Pascal, marele fizician și matematician francez, a susținut: „Matematica este atât de serioasă încât este util să nu ratați ocazia de a o face puțin distractivă”.

Complot. (diapozitivul 2)

ÎN Trenul nr. 86 a plecat din Gara Park Street, dar nu a apărut la următoarea stație sau la depou, dispărând fără urmă alături de șofer și aproximativ 350 de pasageri.

profesor de algebră din Roger Tupelo, după ce a citit despre cele întâmplate în ziare, vine la directorul șef al metroului orașului, Calvin White, pentru a-și raporta ipoteza despre dispariția trenului. Potrivit lui Tupelo, după deschiderea noii linii Boylston, proprietățile topologice ale metroului din Boston s-au schimbat și trenul a ajuns în . Confundându-l cu un nebun, White îl trimite pe Tupelo afară.

Cu toate acestea, în curând îi devine clar pentru White că trenul este într-adevăr situat undeva în metrou. Astfel, trenul nr. 86 este înregistrat periodic automat în părți diferite metrou, consuma curent, dar nu il vede nimeni, desi se aude zgomotul lui. S-a decis să nu se închidă linie nouă, în speranța că trenul se va întoarce.

Trec două luni. Într-o dimineață, în drum spre universitate, Tupelo urcă în metrou și observă că un pasager citește un ziar, care este datat în ziua în care trenul a dispărut. Aleargă prin trăsură, verifică datele ziarelor de la alți pasageri, iar unii dintre ei au și ziare vechi de două luni. Tupelo trage cablul de semnalizare și trenul se oprește. Matematicianul îi anunță pe pasageri și șofer că au trecut deja două luni și le cere să-și verifice cuvintele uitându-se la data ziarelor călătorilor care s-au urcat în vagon în stația anterioară. Tupelo fuge în tunel și fuge la telefon, pe care îl folosește pentru a contacta sediul metroului. El raportează că cel de-al 86-lea tren a fost găsit în sfârșit și toți pasagerii sunt în viață și bine.

Întâlnindu-se cu White, Roger Tupelo îi cere să închidă linia Boylston, dar White îi răspunde: „Este prea târziu. Acum douăzeci și cinci de minute, trenul numărul 143 a dispărut între stațiile Egleston și Dorchester.

Acesta a fost intriga povestirii science-fiction a lui Armin Deitch "bandă Möbius.”A fost publicat pentru prima dată în limba rusă în revista „ » în 1969.Metroul Boston construiește o nouă linie al cărei traseu devine atât de confuz încât se transformă într-o bandă Mobius, după caretrenurile dispar.

Istoria descoperirii benzii Mobius. ( slide 3)

Misteriosa și celebra bandă Möbius a fost inventată în 1858 de omul de știință german August Ferdinand Möbius (1790-1868), un student al „regelui” matematicienilor, Gauss.

Möbius a fost inițial un astronom, ca Gauss și mulți alții cărora matematica le datorează dezvoltarea. În acele vremuri, matematica nu era susținută, iar astronomia oferea suficienți bani pentru a nu se gândi la ele și lăsa timp pentru propriile gânduri. Și Möbius a devenit unul dintre cei mai mari geometri ai secolului al XIX-lea.

La vârsta de 68 de ani, Möbius a făcut o descoperire de o frumusețe uimitoare. Aceasta este descoperirea suprafețelor unilaterale, dintre care una este banda (sau bandă) Möbius. Möbius a venit cu ideea panglicii când a observat o servitoare care își purta fularul greșit la gât.

Cum să obțineți o bandă Mobius? (diapozitivul 4)

Răsuciți un capăt al benzii de hârtie dreptunghiulare o jumătate de tură (180˚)(dimensiuni convenabile: lungime 30 cm, latime 3 cm)și lipiți-l de celălalt capăt al aceleiași benzi. Acest model se numește „banda Mobius”.

Topologie ( slide 5)

Din momentul în care matematicianul german A. F. Möbius a descoperit existența unei uimitoare foi de hârtie cu o singură față, a început să se dezvolte o ramură cu totul nouă a matematicii, numită topologie (cunoscută și sub denumirea de „geometrie a poziției” sau „geometrie a cauciucului”). În topologie, sunt studiate proprietățile figurilor și corpurilor care nu se modifică în timpul deformărilor lor continue.

Proprietățile uimitoare ale benzii Möbius: are o margine, o latură - nu sunt legate de poziția sa în spațiu, de conceptele de distanță, unghi și, totuși, au un caracter complet geometric.

Să efectuăm mai multe experimente cu banda Mobius . ( slide 6)

Experiența 1.

Luați banda Möbius pregătită și tăiați banda lipită în mijloc, de-a lungul liniei punctate. Ce crezi ca se va intampla?

S-au dovedit nu două inele, ci unul, de două ori mai îngust, dar de două ori mai lung(așa-numita „bandă afgană”). În plus, a fost răsucit nu o dată, ci de două ori.

Experiența 2.

Dacă acum tăiem această bandă pe lungime la mijloc, obținem două benzi înfășurate una peste alta.

Experiența 3.

Din rezultatele experimentului nr. 2, tăiem fiecare inel la mijloc. Primim o „floare” - patru inele cu două jumătăți de ture, toate interconectate.

Experiența 4.

Dacă tăiați panglica cu trei jumătăți de ture, veți obține o panglică ondulată într-un nod trefoil.

Tăierea unei benzi Möbius cu ture suplimentare produce figuri neașteptate numite inele paradromice.

Experiența 5.

Acum să încercăm să facem un astfel de model: tăiați o fantă în banda ABCD și treceți un capăt prin ea. Întoarceți o jumătate de tură și lipiți așa cum se arată îndesen. A acum continuați tăierea de-a lungul întregii benzi.Ce ai primit?

Rezultatul a fost o bandă Möbius.

Experiența 6.

Să luăm o bandă, îndoită pe lungimea ei o dată. Să-l răsucim o tură completă și să lipim capetele împreună, așezând un capăt peste celălalt. Acum să tăiem stratul dublu de bandă lipită de-a lungul liniei de mijloc - obținem trei inele legate în perechi.

Puteți continua experimentele cu banda Mobius pe termen nelimitat și rezultatele vor fi diferite, în funcție de numărul de jumătăți de spire este par sau impar, la mijloc va fi o tăietură fie la 1/3, fie la ¼ de margine etc.

Simbol matematică ( diapozitivele 7-8)

Desigur, valoarea principală Banda Möbius este că a dat impuls unor noi cercetări matematice extinse. De aceea, este adesea considerat un simbol al matematicii moderne și este reprezentat pe diverse embleme și insigne, cum ar fi, de exemplu, pe insigna Facultății de Mecanică și Matematică a Universității din Moscova.

Banda Moebius este un simbol al matematicii,
Ceea ce servește drept coroana celei mai înalte înțelepciuni...
Este plin de romantism inconștient:
În ea, infinitul este ondulat într-un inel.Există simplitate în ea și, odată cu ea, complexitate,
Ce este inaccesibil chiar și înțelepților:

Aici avionul s-a transformat în fața ochilor noștri
Într-o suprafață fără început sau sfârșit.Nu există limite, nu există limite,
Luptă înainte și deschide lumi,
Simțiți puterea noilor senzații,
Acceptați cunoașterea celor mai înalte daruri.

Aplicarea benzii Mobius în literatură. ( slide 9)

Dar nu numai matematicienii au fost inspirați și continuă să fie inspirați de banda Möbius.

Fâșia Möbius este menționată constant în lucrările scriitorului ural Vladislav Krapivin, ciclul „În adâncurile marelui cristal”.

O descriere romantică a benzii Möbius poate fi găsită în povestea lui E. Uspensky „Red Hand, Black Sheet, Green Fingers”,si in multe altelelucrări.EMulte poezii îi sunt dedicate.

Aplicarea benzii Mobius în tehnologie. ( slide 10)

Rulment sub formă de bandă Mobius pentru o durată de viață sporită. Sistemele de înregistrare continuă a filmelor au folosit și benzi Möbius (pentru a dubla timpul de înregistrare).

La imprimantele cu matrice de puncte, banda de cerneală avea forma unei benzi Möbius pentru a crește durata de valabilitate.

Casetele au fost inventate pentru magnetofone, unde banda este răsucită și lipită într-un inel, ceea ce face posibilă înregistrarea sau citirea informațiilor din ambele părți simultan, ceea ce crește capacitatea casetei și, în consecință, timpul de redare.

În 1969, inventatorul sovietic Gubaidullin a propus o bandă de șlefuit fără sfârșit sub forma unei benzi Möbius.

Aplicarea benzii Mobius în art. ( slide 11)

Banda Möbius a servit drept inspirație pentru sculpturi și artă grafică.

Maurits Cornelis Escher a fost unul dintre artiștii care l-au iubit în mod deosebit și și-a dedicat câteva dintre litografiile sale acestui obiect matematic. Putem vedea banda Mobius în lucrările „Riders” (1946), „Mobius Strip II (Red Furnici)” (1963)

Lisa Ray „Nava proștilor către infinit”

O altă litografie interesantă se numește „Galeria de imagini”, în care atât topologia, cât și logica spațiului sunt modificate în același timp. Vedem un băiat care se uită la un tablou cu un oraș de pe litoral cu un magazin pe mal, iar în magazin este o galerie de artă, iar în galerie este un băiat care se uită la un tablou cu un oraș de pe litoral.

În 1967, când a avut loc Congresul Internațional de Matematică în Brazilia, organizatorii săi au emis un timbru comemorativ în valori de cinci centavos. Înfățișa o bandă Möbius.

Aplicarea benzii Mobius în sculptură și arhitectură. (slide 12)

Proiect de bibliotecă în Kazahstan. Curbele muzeului formează o bandă Möbius, astfel spațiul interior se revarsă în exterior și invers; într-un mod similar, pereții se transformă în acoperiș, iar acoperișul se transformă din nou în pereți.

Templu budist modern.

Clădire pentru un parc taiwanez.

Proiect de pod în China.

Sculpturi la Moscova, Riga, Minsk.

Folosirea benzii Mobius în viața de zi cu zi. ( slide 13)

Banda Mobius inspiră creatorii Bijuterii. Printre lucrările lor puteți găsi inele și pandantive sub formă de bandă Mobius.

Producătorii de mobilă nu i-au rămas indiferenți. Un exemplu al muncii lor în această direcție este șezlongul, care este o bandă Möbius lipită împreună din stejar britanic îndoit.

Chiar și cizmarii au devenit fani ai benzii Mobius.

Nici designerii nu au vrut să stea deoparte. Artistul și arhitectul Ron Arad este creatorul designului sticlei de parfum Moebius strip.

Concluzie

Banda Möbius este folosită în viață și în domenii diverse industrie.

Ea entuziasmează scriitorii și artiștii, arhitecții și sculptorii, încurcă și inspiră oameni de natură creativă.

Cunoscând proprietățile benzii Mobius, puteți face lucruri utile și necesare.

Fâșia Möbius nu este cunoscută de toți oamenii, dar face parte din ceea ce ne înconjoară în viața de zi cu zi!

Banda Mobius este un lucru simplu, dar uimitor. Se poate face în câteva secunde, iar acest fenomen are o mulțime de surprize, modele și proprietăți. Pentru a face acest lucru mai clar în practică, luați o bandă obișnuită de hârtie, lipiți și conectați-i capetele. Dar asigurați-vă că un capăt este răsucit cu jumătate de tură față de celălalt. Așa că celebra bandă Möbius este gata.

Putem vorbi la nesfârșit despre suprafața misterioasă rezultată. Întrebați-vă câte suprafețe are un inel de hârtie. Două? Dar nu - singur. Este foarte ușor de verificat. Luați un creion sau un creion și încercați să colorați o parte a benzii fără a o rupe sau a vă deplasa pe cealaltă parte. S-a întâmplat? Unde este partea nevopsită? Asta este...

Titlul filmului a fost dat de inventatorul acestuia: August Ferdinand Moebius, profesor la Universitatea din Leipzig. Și-a dedicat viața lungă și fructuoasă muncii științifice (adică 78 de ani) și și-a păstrat claritatea minții până la plecare. La 75 de ani, profesorul a descris proprietățile unice ale unei suprafețe unilaterale cu o structură aparentă cu două straturi. De atunci, cele mai bune minți din geometrie, fizică și chiar spiritualitate au explorat acest obiect în departe.

Puteți efectua singur mai multe experimente luând o bandă Mobius. Încercați să o tăiați pe lungime după prima linia mediană pe toata suprafata. Ce crezi ca se va intampla? Două inele mai mici? Un lucru este greșit din nou! De două ori mai lung decât precedentul, dar răsucit deja de două ori. Acum va avea două suprafețe, și nu una, ca în primul caz. Această buclă este numită panglica afgană și este, de asemenea, cunoscută pe scară largă cercetătorilor. Apropo, în spiritualitate acest efect este numit un simbol al dualității și este interpretat ca o percepție iluzorie a unuia.

Ce se întâmplă dacă desenați din nou o linie longitudinală, dar nu în mijloc, ci mai aproape de margine cu o treime din lățimea benzii? Tăiați inelul rezultat și veți avea deja două dintre ele în mâini: o bandă Mobius și o panglică afgană, iar într-un mod de neînțeles acestea vor fi interconectate între ele.

Dar acestea nu sunt toate surprize. Când lipiți banda într-un inel, încercați să utilizați nu una, ci două benzi de hârtie. Și apoi trei sau chiar patru. Vă garantez: rezultatul vă va surprinde și mai mult!

Un experiment interesant poate fi realizat și ipotetic. Luând o bandă dublă Möbius (adică lipită împreună din două benzi) și inserând un deget (creion, băț de lemn, orice) între ele, o putem muta între benzi la nesfârșit, dovedind astfel că figura este formată din două părți separate. . Acum imaginați-vă că o muscă se târăște printre aceste panglici. Banda de jos va fi „podeaua” pentru aceasta, banda de sus va fi „tavanul” și așa mai departe la infinit.

Dar, în realitate, totul nu este deloc atât de simplu pe cât pare. La urma urmei, dacă puneți un semn pentru începutul călătoriei unei muște „pe podea”, atunci când insecta face un cerc, chiar acest semn va fi deja „pe tavan”. Și pentru a merge din nou „la podea”, va trebui să faci un alt cerc.

Imaginează-ți o muscă târându-se pe stradă. În dreapta acesteia sunt case cu numere pare, iar în stânga, respectiv, cu numere impare. În timp ce face o plimbare, la un moment dat călătorul nostru va observa surprins că numerele impare sunt în dreapta, iar numerele pare în stânga! Este înfricoșător să ne imaginăm o astfel de situație pe drumurile noastre reale cu trafic pe dreapta, pentru că în curând va trebui să înfrunți alți oameni care merg frontal. Aceasta este ceea ce este - o bandă Mobius...

Aplicarea acestui model și a altor modele a fost găsită nu numai în viața ipotetică, ci și în viața reală. De exemplu, curelele din dispozitivele de imprimare, transmisiile automate, un inel abraziv în mecanismele de ascuțire și multe altele despre care nici măcar nu știți sunt create pe bază de bandă. Cu adevărat, banda Mobius este un mister care poate fi studiat la nesfârșit!

Toată lumea știe că lumea noastră are trei dimensiuni, că Pământul se învârte în jurul Soarelui, că orice suprafață are două laturi: superioară și inferioară... Dar ai ghicit greșit! Nu oricare. Pentru că se dovedește că există suprafețe care au doar o latură, iar acest lucru este dovedit științific.

Cine este inventatorul?

Acest fenomen geometric a fost descoperit aproape simultan, dar independent unul de celălalt, de doi oameni de știință germani: August Ferdinand Mobius și Johann Benedict Listing (1858). ? Însuși matematicianul a făcut-o dintr-o foaie de hârtie și s-a dovedit a fi prima suprafață unilaterală cunoscută de omenire. Până atunci, se credea că este imposibil să ajungi dintr-un punct al unei suprafețe date, fără a-i traversa marginile, în oricare altul.

Cum să faci o bandă Möbius cu propriile mâini?

Tu însuți poți faceți un model de bandă Möbiusși asigură-te din propria experiență că el are cu adevărat o parte. Totul este foarte simplu. Pentru a face acest lucru, veți avea nevoie de o bucată de hârtie, foarfece, lipici, niște vopsea în două culori și, desigur, curiozitatea voastră nemuritoare.
Să începem prin a tăia o fâșie de hârtie care măsoară aproximativ 24x4 cm. Apoi, pentru claritate, să marchem colțurile de pe o parte a benzii ca A și B, pe cealaltă - C și D. Apoi, banda de hârtie trebuie să fie răsucită o dată și lipită astfel încât unghiul A să fie aliniat cu unghiul D, iar unghiul B să fie aliniat cu unghiul C. Figura rezultată se numește bandă Möbius.
Am creat produsul în sine, acum trebuie doar să ne dăm seama cum să verificăm banda Mobius pentru unilateralitate. Pentru a face acest lucru, luați orice vopsea și începeți să vopsiți treptat banda fabricată pe o parte, centimetru cu centimetru, fără a trece în niciun caz peste marginea acesteia. Vom lăsa vopsea de altă culoare pentru cealaltă parte. În curând va deveni clar că nu există pentru ce să-l folosească, pentru că nu a mai rămas deloc hârtie albă. Deci, este adevărat, banda Möbius este o suprafață unilaterală.
Tăierea unei benzi Möbius produce, de asemenea, rezultate neașteptate. Cum să faci două benzi Mobius dintr-una, dar mai îngustă? S-ar părea că ar putea fi mai simplu: ia-l și tăiați-l exact la mijloc. Dar nu se formează două inele, așa cum era de așteptat, ci unul mare. Tăierile ulterioare de panglică vă vor surprinde din ce în ce mai mult.

Cum banda Möbius a devenit o descoperire indispensabilă

Toate acestea sunt amuzante și incitante, dar banda Mobius nu este doar jucărie interesantă. Mulți oameni de știință s-au gândit cum să faci o bandă Mobius utilă omenirii, găsiți-i o utilizare demnă. În zilele noastre, au fost înregistrate multe astfel de invenții, inclusiv o metodă bidirecțională de înregistrare a sunetului pe film fără rebobinarea filmului și casete speciale pentru casete. Și în 1969, inventatorul sovietic A. Gubaidullin a primit un certificat de autor pentru o bandă de șlefuit fără sfârșit, care funcționează pe ambele părți simultan pe baza unei benzi Möbius.
Unii s-au nedumerit cum se face o bandă Mobius un fel de „strămoș” al simbolului infinitului, pentru că puteți muta cu adevărat suprafața benzii pentru totdeauna. Dar acest fapt nu s-a justificat, deoarece acest simbol a existat cu mult înainte de descoperirea lui Mobius.
Acestea sunt abilitățile uimitoare pe care le au unele obiecte aparent simple.

Instituția de învățământ municipală „Școala secundară Sugutskaya”

districtul Batyrevsky

Școala secundară Sugutsoy

Supraveghetor

Cu. Suguty - 2007

Scopul lucrării: Fiecare dintre noi are o idee intuitivă despre ce este o „suprafață”. Suprafața unei foi de hârtie, suprafața pereților sălii de clasă, suprafața glob cunoscut de toată lumea. Ar putea exista ceva neașteptat și chiar misterios într-un concept atât de obișnuit? Exemplul benzii Möbius arată că se poate.

1. Ce este o bandă Möbius?

2. Mare matematician – astronom.

3. Obiecte similare.

4.Cum se face o bandă Mobius.

5. Câte laturi are banda Möbius?

6. Soldat schimbător.

7. Experimente.

Ce este o bandă Möbius?

(un alt nume este) - un obiect topologic, cea mai simplă suprafață unilaterală cu o margine. Puteți ajunge dintr-un punct al acestei suprafețe în oricare altul fără a trece marginile. a fost descoperit independent de matematicienii germani August Ferdinand Möbius și în 1858. se poate face cu ușurință. Pentru a face acest lucru, trebuie să luați o bandă de hârtie destul de alungită și să conectați capetele benzii, mai întâi răsturnând una dintre ele. În spațiul euclidian, există două tipuri de benzi Möbius, în funcție de direcția de răsucire: dreptaci și stângaci. Fâșia Möbius este uneori numită precursorul simbolului infinitului, deoarece dacă ai fi pe suprafața unei benzi Möbius, ai putea merge de-a lungul ei pentru totdeauna. Acest lucru nu este adevărat, deoarece simbolul a fost folosit pentru a reprezenta infinitul timp de două secole înainte de descoperirea benzii Möbius. (vezi simbolul infinitului) Din punct de vedere topologic, un volan și un cerc sunt unul și același. Prin strângerea și întinderea unei bucăți de cauciuc, puteți trece de la unul dintre aceste corpuri la al doilea. Dar volanul și mingea sunt obiecte diferite: pentru a face o gaură, trebuie să rupeți cauciucul.

Topologia este necesară pentru matematicienii de aproape toate specialitățile, este foarte frumoasă, metodele sale, în comparație cu altele, dau în același timp teoreme mai generale, mai puternice și mai simple.

O bandă Möbius este foarte ușor de realizat, ținut în mâini, tăiat, experimentat în alt mod. Studierea benzii Möbius este o bună introducere în elementele de topologie: teorema lui Euler, colorații, universalitatea, conceptul de hărți continue.

Mobius.

Misteriosa și celebra bandă Möbius (uneori numită bandă Möbius) a fost inventată în 1858. Geometrul german August Ferdinand Möbius (), elev al „regelui matematicienilor” Gauss. Möbius a fost inițial un astronom, ca Gauss și mulți alții cărora matematica le datorează dezvoltarea. În acele vremuri, matematica nu era susținută, iar astronomia oferea suficienți bani pentru a nu se gândi la ele și lăsa timp pentru propriile gânduri. Și Möbius a devenit unul dintre cei mai mari geometri ai secolului al XIX-lea. La 68 de ani, a reușit să facă o descoperire de o frumusețe uimitoare. Aceasta este descoperirea suprafețelor unilaterale, dintre care una este banda Möbius.

Obiecte similare.

Un obiect geometric „ciudat” din apropiere este sticla Klein. O sticlă Klein poate fi creată prin lipirea a două benzi Möbius împreună la margini. În spațiul euclidian tridimensional obișnuit, este imposibil să faci acest lucru fără a crea auto-intersecție.

Un alt set similar este planul proiectiv real. Dacă faci o gaură în planul proiectiv real, atunci ceea ce rămâne este o bandă Möbius. Pe de altă parte, dacă lipiți un disc pe o bandă Möbius, potrivindu-le limitele, rezultatul va fi un plan proiectiv. Pentru a vizualiza acest lucru, este util să deformați banda Möbius, astfel încât marginea ei să devină un cerc regulat. O astfel de figură se numește „capac încrucișat” (capacul încrucișat poate însemna și aceeași figură cu un disc atașat, adică imersarea planului proiectiv în R 3).

Există o concepție greșită comună că un capac intersectat nu poate fi format în trei dimensiuni fără o suprafață care se intersectează. De fapt, este posibil să plasați o bandă Möbius R 3 cu chenarul fiind un cerc perfect. Ideea este aceasta: lasa C va fi un cerc unitar în plan X y V R 3. Prin conectarea punctelor antipode pe C, adică puncte la unghiurile θ și θ + π printr-un arc de cerc, obținem că pentru θ între 0 și π / 2 arcele se află deasupra planului X y, iar pentru alții θ este mai mic (și în două locuri arcurile se află în plan X y).

Se poate observa că, dacă discul este lipit de cercul limită, atunci auto-intersecția planului proiectiv rezultat este inevitabilă în spațiul tridimensional. În ceea ce privește specificarea laturilor pătratului, așa cum se arată mai sus, planul proiectiv real se obține prin lipirea celor două laturi rămase în timp ce „păstrează” orientarea.

Cum se face o bandă Mobius.

Luăm bandă de hârtie ABCD, împărțită în jumătate de lățime printr-o linie punctată (a se vedea figura), îi aplicăm capetele AB și SD unul pe celălalt și le lipim împreună. Dar nu la întâmplare, ci astfel încât punctul A să coincidă cu punctul D, iar punctul B să coincidă cu punctul C. Înainte de lipire, răsucim banda o dată. Rezultatul a fost celebrul inel de hârtie din matematică. Are chiar un nume special - frunza MOBIUS. Și acum folosim foarfecele pentru a tăia banda lipită la mijloc, de-a lungul liniei punctate. Desigur, dacă banda nu ar fi fost răsucită înainte de lipire, totul ar fi fost simplu: un inel lat s-ar fi transformat în două înguste. Ce acum?

Câte laturi are o bandă Möbius? ?

Fâșia din care este realizată banda Möbius are două fețe. Și el însuși, se dovedește, are doar o latură!

Să încercăm să pictăm peste banda Mobius - bucată cu bucată, fără a trece peste marginea benzii. Si ce? Vei picta întreaga bandă Mobius! „Dacă cineva decide să picteze „doar o parte” a suprafeței unei benzi Möbius, ar fi mai bine să o scufunde imediat într-o găleată de vopsea”, scriu Richard Courant și Herbert Robbins în excelenta carte What is Mathematics.

Dacă puneți un păianjen în interiorul unui inel obișnuit și o muscă în exterior și le permiteți să se târască după bunul plac, interzicându-le doar să se cațăre peste marginile inelului, atunci păianjenul nu va putea ajunge la a zbura. Și dacă amândoi sunt plantați pe o fâșie Mobius, atunci biata muscă va fi mâncată, dacă, desigur, păianjenul nu se târăște mai repede.

Soldatul este un schimbător.

l-am decupat soldat de hârtieși l-a trimis de-a lungul liniei punctate care curge în mijlocul fâșiei Mobius. Și așa s-a întors la punctul de plecare. Dar sub ce formă! Inversat! Și pentru ca el să revină la start într-o poziție normală, trebuie să facă o altă călătorie „în frunze rotunde”. Verifică!

Experimente pentru toată lumea.

Să luăm banda, să împărțim fiecare parte în trei benzi identice și să o lipim împreună răsucind banda Möbius o dată. Vom tăia de-a lungul liniei punctate. Dacă banda nu ar fi fost răsucită, atunci mai întâi am fi tăiat un inel, apoi pe celelalte două. Toate cele trei inele, fiecare având aceeași lungime ca și originalul, dar cu o treime din lățime. Dar avem o bandă Möbius. Și, „fără să ridicăm” foarfecele din hârtie, tăiem de-a lungul tuturor liniilor punctate simultan și obținem două inele care se intersectează. Unul dintre ele este de două ori mai lung decât cel original și este răsucit de două ori. A doua este o bandă Möbius, a cărei lățime este de trei ori mai mică decât cea originală.

CONCLUZIE: ACEASTA LUCRARE VA AJUTA STUDIENȚI SĂ-ȘI EXTINDE

ORIZONT. TE VA ÎNVĂȚĂ SĂ GĂȘIȘI NEȘTEPTUL ȘI CHIAR MISTERIOSUL ÎN CONCEPTUL ORDINAR.

Utilizarea literaturii:

1. Lucrări extracurriculare la matematică.

2. Grădina de flori matematică.

3.SCURTĂ SCHĂ A ISTORIEI MATEMATICII. D.Da. Constructie Traducere

din germană și completări de I. B. POGREBYSSKY.