Acasă→Pierdere în greutate→ Energia electrostatică a unei sfere încărcate la suprafață. Energia electrostatică a sarcinilor

Energia electrostatică a unei sfere încărcate la suprafață. Energia electrostatică a sarcinilor

Incarcare electrica este o mărime fizică care caracterizează capacitatea particulelor sau a corpurilor de a intra în interacțiuni electromagnetice. Sarcina electrică este de obicei reprezentată de litere q sau Q. În sistemul SI, sarcina electrică este măsurată în Coulombs (C). O încărcare gratuită de 1 C este o cantitate gigantică de încărcare, practic nu se găsește în natură. De obicei, va trebui să aveți de-a face cu microculombi (1 µC = 10 -6 C), nanocoulombi (1 nC = 10 -9 C) și picoculombi (1 pC = 10 -12 C). Sarcina electrică are următoarele proprietăți:

Acest factor se numește potențial punct electric. Adică: în electromagnetism, potențialul electric sau potențialul electrostatic este un câmp echivalent cu energia potențială asociată unui câmp electric static împărțit la sarcina electrică a particulei testate. La fel ca un potențial bun, numai diferențele fizice de potențial au semnificație fizică. Electrostatica este o parte a studiului electricității care studiază sarcinile electrice fără mișcare, adică în repaus.

Electrostatică și electrodinamică

Ecranarea electrostatică face câmpul electric zero. Acest lucru se datorează distribuției sarcinilor electrice în exces în conductor. Încărcăturile aceluiași semnal tind să dispară până când ajung în repaus. În timp ce electrostatica studiază sarcinile electrice fără mișcare, electrodinamica studiază sarcinile în mișcare.

1. Sarcina electrică este un tip de materie.

2. Sarcina electrică nu depinde de mișcarea particulei și de viteza acesteia.

3. Taxele pot fi transferate (de exemplu, prin contact direct) de la un corp la altul. Spre deosebire de masa corporală, sarcina electrică nu este o caracteristică integrală a unui corp dat. Același corp în condiții diferite poate avea o încărcătură diferită.

Astfel, electrostatica și electrodinamica sunt ramuri de studiu ale fizicii care se ocupă de diverse aspecte ale electricității. Pe lângă aceste câmpuri, există și electromagnetismul, care studiază capacitatea electricității de a atrage și suprima poli.

După echilibru, sfera A este adusă în contact cu o altă sferă C identică, care are o sarcină electrică de 3e. Care va fi densitatea de sarcină electrică a acestei regiuni? Natura hidrofobă a poliuretanului se datorează forței de repulsie electrostatică dintre moleculele materialului și moleculele de apă, fenomen fizic care are loc între corpuri cu sarcini electrice de același semnal. Este corect să spunem că forța este repulsie electrostatică.

4. Există două tipuri de sarcini electrice, numite convențional pozitivȘi negativ.

5. Toate taxele interacționează între ele. În acest caz, taxele asemănătoare se resping, spre deosebire de taxele se atrag. Forțele de interacțiune dintre sarcini sunt centrale, adică se află pe o linie dreaptă care leagă centrele sarcinilor.

Acesta este un motiv pentru a reveni la exemplele de mai sus și a te întreba de ce arcul se oprește suficient de repede pentru a oscila, ca un leagăn, dacă nu este ținut în mișcare. Acest lucru se datorează faptului că există frecare și generează căldură fără ca noi să ne dăm seama. Energia este foarte constantă, dar o parte este disipată sub formă de căldură.

Rezervor material, electric și nuclear

Cu toate acestea, spre deosebire de masă, sarcina poate fi fie pozitivă, fie negativă: forța este atunci atractivă dacă sarcinile au semne opuse, dar respingătoare dacă au același semn. Într-o celulă electrică sau alt generator, sarcinile electrice pozitive sunt distribuite la polul pozitiv, iar sarcinile electrice negative sunt distribuite la polul opus.

6. Există o sarcină electrică minimă posibilă (modulo), numită sarcina elementara. Intelesul sau:

e= 1,602177·10 –19 C ≈ 1,6·10 –19 C.

Sarcina electrică a oricărui corp este întotdeauna un multiplu al sarcinii elementare:

Unde: N– un număr întreg. Vă rugăm să rețineți că este imposibil să existe o taxă egală cu 0,5 e; 1,7e; 22,7eși așa mai departe. Se numesc mărimile fizice care pot lua doar o serie discretă (nu continuă) de valori cuantificat. Sarcina elementară e este o cuantică (cea mai mică parte) a sarcinii electrice.

Pe lângă manifestările sale în electricitate, această interacțiune „Coulomb” este responsabilă pentru stabilitatea materiei. Nucleii cu sarcină electrică pozitivă atrag electronii negativi, ceea ce îi face să formeze atomi care se atrag unul pe altul. Mai mult, atunci când are loc o reacție chimică, rezultatul este o reorganizare a nucleelor și electronilor și o modificare a energiei Coulomb. Aceasta se numește energie chimică. Combustibilul precum cărbunele, benzina sau hidrogenul este un rezervor de energie chimică, dar această energie nu este altceva decât energia Coulomb.

Într-un sistem izolat, suma algebrică a sarcinilor tuturor corpurilor rămâne constantă:

Legea conservării sarcinii electrice prevede că într-un sistem închis de corpuri nu pot fi observate procese de creare sau dispariție a sarcinilor de un singur semn. De asemenea, din legea conservării sarcinii rezultă că dacă două corpuri de aceeași mărime și formă au sarcini q 1 și q 2 (nu contează deloc ce semn sunt încărcăturile), aduceți în contact și apoi separați din nou, apoi încărcarea fiecărui corp va deveni egală:

Energia elastică a arcului, despre care am discutat mai sus, este, de asemenea, o consecință a interacțiunii Coulomb. Nucleele nucleare au, de asemenea, interacțiuni nucleare care sunt foarte apropiate unele de altele și, prin urmare, importante doar în cadrul acestor nuclee. Ei leagă nucleonii, adică protoni si neutroni. Astfel, o energie enormă poate fi eliberată prin combinarea nucleelor ușoare. O energie enormă se obține și prin fisiunea nucleelor grele precum uraniul, care este produs într-o bombă A sau într-un reactor nuclear prin fisiune nucleară.

câmp electric

w = 1 2 ε 0 E2 + 1 2 E P. (11)

ÎN În formula (11), primul termen exprimă densitatea de energie a câmpului electric în vid, iar al doilea termen exprimă energia cheltuită pentru polarizarea unei unități de volum a dielectricului.

ÎN în cazul general al unui câmp electric neuniform, energia acestuia într-un anumit volum V poate fi calculat folosind formula

4. Forțe ponderomotrice. Aplicarea legii conservării energiei la calculul forțelor ponderomotrice.

Orice corp încărcat plasat într-un câmp electric este supus forței mecanice. Ponderomotorii sunt forțe care acționează dintr-un câmp electric asupra corpurilor încărcate macroscopice.

Să definim forța atracție reciprocăîntre plăcile încărcate opus ale unui condensator plat (forță ponderomotoare) în două moduri.

Pe de o parte, această forță poate fi definită ca forța F2 care acționează asupra celei de-a doua plăci din partea primei.

F 2 = Q 2E 1, (14)

unde Q 2 este cantitatea de sarcină de pe a doua placă, E 1 este intensitatea câmpului primei plăci. Cantitatea de sarcină Q 2 a celei de-a doua plăci este determinată de formula

Q 2 = σ 2 S , (15)

unde σ 2 este densitatea de sarcină a suprafeței de pe a doua placă, iar intensitatea câmpului E 1 creată de prima placă este calculată prin formula

E 1 = σ 1 , (16)

unde σ 1 este densitatea de sarcină de suprafață pe prima placă. Să înlocuim formulele (16) și (15) în formula (14)

Având în vedere că σ = D = ε 0 ε E, obținem o formulă pentru forța care acționează asupra unei plăci față de cealaltă

Pentru forța care acționează pe unitatea de suprafață a plăcii, formula va fi următoarea

F = ε 0 ε E 2 . (18)

Acum obținem formula forței ponderomotoare folosind legea conservării energiei. Dacă un corp se mișcă într-un câmp electric, atunci forțele ponderomotrice

câmp, se va executa munca A. Conform legii conservării energiei, această muncă se va executa datorită energiei câmpului, adică

A + W = 0 sau A = W . (19)

Munca efectuată pentru a modifica distanța dintre plăcile unui condensator încărcat cu o sumă dx este determinată de formula

unde F este forța de interacțiune dintre plăci (forța ponderomotoare).

Energia unui condensator încărcat este determinată de formula (9). Când una dintre plăci este deplasată cu o distanță dx, energia condensatorului se va modifica cu cantitatea W

După cum puteți vedea, formulele (18) și (22) sunt aceleași. În același timp, folosirea legii conservării energiei pentru a calcula forțele ponderomotive simplifică foarte mult calculele.

Întrebări de autotest:

1. Deduceți o formulă pentru energia unui conductor solitar încărcat și a unui sistem de conductori.

2. Care este purtătorul de energie electrică? Ce se înțelege prin volumetric

interacțiunea dintre plăcile unui condensator încărcat?

Una dintre cele mai interesante și utile descoperiri în mecanică este legea conservării energiei. Cunoscând formulele pentru energiile cinetice și potențiale ale unui sistem mecanic, suntem capabili să detectăm legătura dintre stările sistemului în două momente diferite de timp, fără a aprofunda detaliile a ceea ce se întâmplă între aceste momente. Acum vrem să determinăm energia sistemelor electrostatice. În electricitate, conservarea energiei se va dovedi la fel de utilă în descoperirea multor fapte interesante.

Legea conform căreia energia se modifică în timpul interacțiunii electrostatice este foarte simplă; de fapt, am discutat deja despre asta. Să fie taxe q 1Și q2, separate printr-un decalaj r 12. Acest sistem are ceva energie pentru că a fost nevoie de ceva muncă pentru a aduce încărcăturile împreună. Am calculat munca efectuată atunci când două sarcini se apropie una de cealaltă de la mare distanță; este egal

Știm din principiul suprapunerii că, dacă există multe sarcini, atunci forța totală care acționează asupra oricăreia dintre sarcini este egală cu suma forțelor care acționează din partea tuturor celorlalte sarcini. Rezultă că energia totală a unui sistem de mai multe sarcini este suma termenilor care exprimă interacțiunea fiecărei perechi de sarcini separat. Dacă q¡Și q j- vreo două dintre acuzații și distanța dintre ele r ij(Fig. 8.1), atunci energia acestei perechi particulare este egală cu

Energia electrostatică totală U este suma energiilor tuturor perechilor posibile de sarcini:

Dacă distribuția este dată de densitatea de sarcină ρ, atunci suma din (8.3) trebuie, desigur, înlocuită cu o integrală.

Vom vorbi aici despre energie din două perspective. În primul rând - aplicarea concepte de energie la probleme electrostatice; al doilea - căi diferite evaluări valorile energetice. Uneori este mai ușor să calculați munca efectuată într-un anumit caz decât să estimați valoarea sumei din (8.3) sau valoarea integralei corespunzătoare. Pentru o probă, calculăm energia necesară pentru a asambla o minge încărcată uniform din sarcini. Energia aici nu este altceva decât munca cheltuită pentru colectarea taxelor de la infinit.

Imaginați-vă că construim o minge prin stratificarea straturilor sferice de grosime infinitezimală succesiv unul peste altul. În fiecare etapă a procesului, colectăm o cantitate mică de electricitate și o plasăm într-un strat subțire de la r la r +dr. Continuăm acest proces până ajungem la raza dată A(Fig. 8.2). Dacă Q r — este încărcarea mingii în momentul în care mingea este adusă pe raza r, apoi munca necesară pentru a livra încărcarea mingii dQ, egal cu

Dacă densitatea de sarcină în interiorul bilei este ρ, atunci sarcina Q r egală

si taxa dQ egală

Legea conform căreia energia se modifică în timpul interacțiunii electrostatice este foarte simplă; de fapt, am discutat deja despre asta. Să existe taxe și separate printr-un gol. Acest sistem are ceva energie pentru că a fost nevoie de ceva muncă pentru a aduce încărcăturile împreună. Am calculat munca efectuată atunci când două sarcini se apropie una de cealaltă de la mare distanță; este egal

Știm din principiul suprapunerii că, dacă există multe sarcini, atunci forța totală care acționează asupra oricăreia dintre sarcini este egală cu suma forțelor care acționează din partea tuturor celorlalte sarcini. Rezultă că energia totală a unui sistem de mai multe sarcini este suma termenilor care exprimă interacțiunea fiecărei perechi de sarcini separat. Dacă și sunt două dintre sarcini și distanța dintre ele (Fig. 8.1), atunci energia acestei perechi este egală cu

Figura 8.1. Energia electrostatică a unui sistem de particule este suma energiilor electrostatice ale fiecărei perechi

Energia electrostatică totală este suma energiilor tuturor perechilor posibile de sarcini:

(8.3)

Dacă distribuția este dată de densitatea de sarcină , atunci suma din (8.3) trebuie, desigur, înlocuită cu o integrală.

Vom vorbi aici despre energie din două perspective. Prima este aplicarea conceptului de energie la problemele electrostatice; a doua este diferitele moduri de estimare a cantității de energie. Uneori este mai ușor să calculați munca efectuată într-un anumit caz decât să estimați valoarea sumei din (8.3) sau valoarea integralei corespunzătoare. Pentru o probă, calculăm energia necesară pentru a asambla o minge încărcată uniform din sarcini. Energia aici nu este altceva decât munca cheltuită pentru colectarea taxelor de la infinit.

Imaginați-vă că construim o minge prin stratificarea straturilor sferice de grosime infinitezimală succesiv unul peste altul. În fiecare etapă a procesului, colectăm o cantitate mică de energie electrică și o plasăm într-un strat subțire de la până la . Continuăm acest proces până ajungem la raza dată (Fig. 8.2). Dacă este încărcarea mingii în momentul în care mingea este adusă la rază, atunci munca necesară pentru a livra încărcarea mingii este egală cu

Figura 8.2. Energia unei bile încărcate uniform poate fi calculată imaginându-ne că a fost modelată prin stratificarea succesivă a straturilor sferice unele peste altele.

Dacă densitatea de încărcare în interiorul mingii este , atunci sarcina este egală cu

iar sarcina este egală pentru toate perechile de puncte din interiorul mingii.

Capitolul 8

ENERGIE ELECTROSTATICĂ

§1.Energia electrostatică a sarcinilor. Minge omogenă

§ 2. Energia condensatorului. Forțe care acționează asupra conductoarelor încărcate

§ 3. Energia electrostatică a unui cristal ionic

§ 4. Energia electrostatică a nucleului

§5.Energia într-un câmp electrostatic

§ 6. Energia unei sarcini punctuale

Repeta: Ch. 4 (numărul 1) „Conservarea energiei”; Ch. 13 și 14 (numărul 1) „Munca și energia potențială”

§ 1. Energia electrostatică a sarcinilor. Minge omogenă

Legea conform căreia energia se modifică în timpul interacțiunii electrostatice este foarte simplă; de fapt, am discutat deja despre asta. Să fie taxe q 1 și q 2 , separate printr-un decalaj r 12. Acest sistem are ceva energie pentru că a fost nevoie de ceva muncă pentru a aduce încărcăturile împreună. Am calculat munca efectuată atunci când două sarcini se apropie una de cealaltă de la mare distanță; este egal

Știm din principiul suprapunerii că, dacă există multe sarcini, atunci forța totală care acționează asupra oricăreia dintre sarcini este egală cu suma forțelor care acționează din partea tuturor celorlalte sarcini. Rezultă că energia totală a unui sistem de mai multe sarcini este suma termenilor care exprimă interacțiunea fiecărei perechi de sarcini separat. Dacă q iȘi q j - - vreo două dintre sarcini, iar distanța dintre ele r ij(Fig. 8.1),

Smochin. 8.1. Energia electrostatică a unui sistem de particule este suma energiilor electrostatice ale fiecărei perechi.

atunci energia acestei perechi este egală

Energia electrostatică totală U este suma energiilor tuturor perechilor posibile de sarcini:

Dacă distribuția este dată de densitatea de sarcină r, atunci suma din (8.3) trebuie, desigur, înlocuită cu o integrală.

Vom vorbi aici despre energie din două perspective. În primul rând - aplicarea concepte de energie la probleme electrostatice; al doilea - moduri diferite evaluări valorile energetice. Uneori este mai ușor să calculați munca efectuată într-un anumit caz decât să estimați valoarea sumei din (8.3) sau valoarea integralei corespunzătoare. Pentru o probă, calculăm energia necesară pentru a asambla o minge încărcată uniform din sarcini. Energia aici nu este altceva decât munca cheltuită pentru colectarea taxelor de la infinit.

Imaginați-vă că construim o minge prin stratificarea straturilor sferice de grosime infinitezimală succesiv unul peste altul. În fiecare etapă a procesului, colectăm o cantitate mică de electricitate și o plasăm într-un strat subțire de la r la r+dr. Continuăm acest proces până ajungem la raza dată A(Fig. 8.2). Dacă Q r-- este încărcarea mingii în momentul în care mingea este adusă pe raza r, apoi munca necesară pentru a livra încărcarea mingii dQ, egal cu

Smochin. 8.2. Energia unei bile încărcate uniform poate fi calculată imaginându-ne că a fost modelată prin stratificarea succesivă a straturilor sferice unele peste altele.

Dacă densitatea de încărcare în interiorul mingii este r, atunci sarcina Q r egală

Ecuația (8.4) devine

Energie totală, necesar pentru a acumula o minge plină de încărcături, este egal cu integrala peste dU de la r=0 la r=a, adică.

iar dacă dorim să exprimăm rezultatul în termeni de încărcare totală Q mingea, atunci

Energia este proporțională cu pătratul sarcinii totale și invers proporțională cu raza. Puteți reprezenta (8.7) astfel: valoarea medie (1/r ij) pentru toate perechile de puncte din interiorul mingii este egală cu 6/5 a.

§ 2. Energia condensatorului. Forțe care acționează asupra conductoarelor încărcate

Să luăm acum în considerare energia necesară pentru încărcarea condensatorului. Dacă taxa Q a fostîndepărtat de pe o placă a condensatorului și transferat pe altul, atunci apare o diferență de potențial între plăci egală cu

Unde CU - capacitatea condensatorului. Câtă muncă este necesară pentru a încărca condensatorul? Făcând exact același lucru ca și noi cu mingea, imaginați-vă că condensatorul este deja încărcat prin transferul de sarcină de la o placă la alta în porțiuni mici dQ. Lucru necesar pentru transferul taxei dQ,egal

Luând V din (8.8), scriem

Sau, integrând din Q=0 până la taxa finală Q, primim

Această energie poate fi scrisă și ca

Reținând că capacitatea unei sfere conducătoare (față de infinit) este egală cu

obţinem imediat din ecuaţia (8.9) energia sferei încărcate

Această expresie, desigur, se aplică și energiei subtilului strat sferic cu încărcare completă Q; rezultă 5/6 energie încărcat uniform minge [ecuația (8.7)].

Să vedem cum se aplică conceptul de energie electrostatică. Să luăm în considerare două întrebări. Care este forța care acționează între plăcile condensatorului? Ce moment de rotație (cuplu) experimentează un conductor încărcat în jurul unei anumite axe în prezența unui alt conductor cu sarcina opusă? La astfel de întrebări este ușor de răspuns folosind expresia noastră (8.9) pentru energia electrostatică a unui condensator și principiul lucrului virtual (a se vedea numărul 1, capitolul 4, 13 și 14).

Să aplicăm această metodă pentru a determina forța care acționează între cele două plăci ale unui condensator plat. Dacă ne imaginăm că distanța dintre plăci s-a extins cu o cantitate mică Dz, atunci munca mecanică efectuată în exterior pentru a depărta plăcile ar fi egal cu

Unde F- forța care acționează între plăci. Acest lucru trebuie să fie egal cu modificarea energiei electrostatice a condensatorului, cu excepția cazului în care sarcina condensatorului s-a schimbat.

Conform ecuației (8.9), energia condensatorului a fost inițial egală cu

Modificarea energiei (dacă nu permitem o modificare a mărimii sarcinii) este atunci egală cu

Echivalând (8.12) și (8.13), obținem

care poate fi scris și ca

În mod clar, această forță de aici provine din atracția sarcinilor de pe plăci; vedem, totuși, că nu avem de ce să ne îngrijorăm cu privire la modul în care sunt distribuite acolo; singurul lucru de care avem nevoie este să luăm în considerare capacitatea CU.

Este ușor de văzut cum să generalizezi această idee la conductorii de formă liberă și alte componente de forță. Să înlocuim în ecuația (8.14) F componenta care ne interesează și Dz - o mică deplasare în direcția corespunzătoare. Sau dacă avem un electrod montat pe o axă și vrem să cunoaștem cuplul t, atunci vom scrie lucrarea virtuală sub forma

unde Dq este o rotație unghiulară mică. Desigur, acum D(1/C) trebuie să fie schimbarea 1/C, corespunzătoare rotației pe Dq.

Smochin. 8.3. Care este cuplul care acționează asupra condensatorului variabil?

În acest fel putem determina cuplul care acționează asupra plăcilor mobile ale condensatorului variabil prezentat în fig. 8.3.

Să revenim la cazul special al unui condensator cu plăci paralele; putem lua formula pentru capacitate derivată în Cap. 6:

Unde A- zona fiecărei acoperiri. Dacă intervalul crește cu Dz, atunci

Din (8.14) rezultă atunci că forța de atracție dintre cele două plăci este egală cu

Să aruncăm o privire mai atentă la ecuația (8.17) și să vedem dacă putem spune cum apare această forță. Dacă scriem încărcătura pe una dintre plăcuțele din formular

atunci (8.17) poate fi rescris după cum urmează:

Sau deoarece câmpul dintre plăci este egal

S-ar putea ghici imediat că forța care acționează asupra uneia dintre plăci ar fi egală cu sarcina Q a acestei plăci, înmulțit cu câmpul care acționează asupra sarcinii. Dar ceea ce este surprinzător este factorul 1/2. Adevărul este că E 0 - acesta nu este domeniul care actioneaza asupra taxe. Dacă ne imaginăm că sarcina de pe suprafața plăcii ocupă un strat subțire (Fig. 8.4), atunci câmpul se va schimba de la zero la limita interioară a stratului la E 0 în spațiul din exteriorul plăcilor. Câmpul mediu care acționează asupra sarcinilor de suprafață este egal cu E 0 /2. Acesta este motivul pentru care în (8.18) există un factor de 1/2.

Trebuie să rețineți că, în calcularea lucrării virtuale, am presupus că sarcina condensatorului a fost constantă, că condensatorul nu a fost conectat electric la alte obiecte și că sarcina totală nu se poate modifica.

Smochin. 8.4. Câmpul de la suprafața conductorului se schimbă de la zero la E 0 =s/e 0 , când stratul de sarcină de suprafață este traversat. 1 - placa conductoare; 2 - strat de încărcare de suprafață.

Acum să presupunem că în timpul deplasărilor virtuale condensatorul este menținut la o diferență de potențial constantă. Atunci ar trebui să luăm

iar în loc de (8.15) am avea

ceea ce conduce la o forţă egală ca mărime cu cea obţinută în ecuaţia (8.15) (deoarece V = Q/C), dar cu semnul opus!

Desigur, forța care acționează între plăcile unui condensator nu își schimbă semnul atunci când deconectam condensatorul de la sursa de electricitate. În plus, știm că două plăci cu sarcini electrice opuse trebuie să se atragă. Principiul muncii virtuale în cel de-al doilea caz a fost aplicat incorect; nu am ținut cont de munca virtuală produsă de sursa de încărcare a condensatorului. Aceasta înseamnă că pentru a menține potențialul la o valoare constantă V, când capacitatea se schimbă, sursa electrică trebuie să alimenteze condensatorul cu o încărcare VDC. Dar această sarcină este furnizată la un potențial V, deci munca efectuată de sistemul electric care ține constantă sarcina este V 2 DC. Lucrări mecanice.FDz la care se adauga acest lucru electric V 2 DC împreună are ca rezultat o modificare a energiei totale a condensatorului cu 1/2 V 2 DC. Prin urmare, lucrul mecanic, ca și înainte, necesită F D z=- 1 / 2 V 2 DC.

§ 3. Energia electrostatică a unui cristal ionic

Să luăm acum în considerare aplicarea conceptului de energie electrostatică în fizica atomică. Nu putem măsura cu ușurință forțele care acționează între atomi, dar suntem adesea interesați de diferența de energii a două aranjamente de atomi (de exemplu, energia modificărilor chimice). Deoarece forțele atomice sunt în esență forțe electrice, atunci energia chimică în partea sa principală este pur și simplu energie electrostatică.

Luați în considerare, de exemplu, energia electrostatică a unei rețele ionice. Un cristal ionic, cum ar fi NaCl, este compus din ioni pozitivi și negativi, care pot fi considerați sfere dure. Sunt atrași electric până se ating; atunci intră în joc forța de respingere, care crește rapid dacă încercăm să le apropiem.

Pentru o aproximare inițială, să ne imaginăm o colecție de sfere dure reprezentând atomi într-un cristal de sare. Structura unei astfel de rețele a fost determinată folosind difracția de raze X. Acest zăbrele este cubic - ceva ca o tablă de șah tridimensională. Secțiunea sa transversală este prezentată în Fig. 8.5. Distanța dintre ioni este de 2,81 E (sau 2,81·10 -8 cm).

Dacă ideea noastră despre sistem este corectă, ar trebui să o putem testa punând următoarea întrebare: câtă energie va fi nevoie pentru a împrăștia acești ioni, adică pentru a separa complet cristalul în ioni? Această energie trebuie să fie egală cu căldura de vaporizare a sării plus energia necesară pentru a disocia moleculele în ioni. Energia totală de separare a NaCl în ioni, după cum urmează din experiment, este de 7,92 ev pe moleculă.

Smochin. 8.5. Secțiune transversală a unui cristal de sare la scara câtorva atomi.

În două perpendiculare La planul modelului în secțiune transversală va avea același aranjament eșalonat al ionilor N / A Și Cl (vezi problema 1, fig. 1.7).

Folosind factorul de conversie

și numărul lui Avogadro (numărul de molecule dintr-o moleculă gram)

energia de evaporare poate fi reprezentată sub formă

Unitatea preferată de energie folosită de chimiștii fizici este kilocaloria, egală cu 4190 j; deci 1 ev pe moleculă - este la fel ca 23 kcal/mol. Prin urmare, un chimist ar spune că energia de disociere a NaCl este

Putem obține această energie chimică în mod teoretic calculând cât de multă muncă ar fi nevoie pentru a curăța un cristal? Conform teoriei noastre, este egal cu suma energiilor potențiale ale tuturor perechilor de ioni. Cel mai simplu mod de a vă face o idee despre această energie este să selectați un ion și să calculați energia potențială a acestuia în raport cu toți ceilalți ioni. Aceasta va da dublat energie per ion, deoarece energia aparține cupluri taxe. Dacă avem nevoie de energia asociată cu un anumit ion, atunci trebuie să luăm jumătate din sumă. Dar ceea ce avem nevoie cu adevărat este energie pe moleculă, conținând doi ioni, deci suma pe care o calculăm ne va oferi direct energia pe moleculă.

Energia unui ion în raport cu vecinul său cel mai apropiat este -e 2 /a, unde e 2 =q 2 e/4pe 0 și A- decalajul dintre centrele ionilor. (Luăm în considerare ioni monovalenți.) Această energie este -5,12 ev; vedem deja că răspunsul este obținut ordinea corectă cantități. Dar mai trebuie să numărăm o serie infinită de termeni.

Să începem prin a aduna energiile tuturor ionilor aflați în linie dreaptă. Având în vedere ionul marcat în FIG. 8.5 cu simbolul Na, ionul nostru evidențiat, luăm în considerare mai întâi acei ioni care se află pe aceeași linie orizontală ca acesta. Există doi ioni de clor cei mai aproape de ea cu sarcini negative, fiecare la o distanță de I de Na. Apoi există doi ioni pozitivi la distanțe 2a etc. Notând această sumă de energii ca U 1 , Hai să scriem

Seria converge lent, deci este dificil de estimat numeric,

dar se ştie că este egală cu ln2. Mijloace,

Acum să trecem la cea mai apropiată linie adiacentă vârfului. Cel mai apropiat ion este negativ și se află la distanță A. Apoi există două pozitive la distanțe Ts2a. Următoarea pereche este la o distanță de Ts5a, următoarea este la Ts10a etc. Pentru întreaga linie se obține un rând

Asemenea linii patru: deasupra, dedesubt, în față și în spate. Apoi există patru linii care sunt cele mai apropiate în diagonală și așa mai departe și așa mai departe.

Dacă faceți cu răbdare calculele pentru toate liniile și apoi le adunați pe toate, veți vedea că rezultatul este următorul:

Acest număr este puțin mai mare decât cel obținut în (8.20) pentru prima linie. Având în vedere că e 2 /a=- 5,12 ev, vom primi

Răspunsul nostru este cu aproximativ 10% mai mare decât energia observată experimental. Arată că ideea noastră că întreaga rețea este ținută împreună de forțele electrice Coulomb este fundamental corectă. Pentru prima dată, am obținut o proprietate specifică a materiei macroscopice din cunoștințele noastre despre fizica atomică. Cu timpul vom realiza mult mai mult. Domeniul științei care încearcă să înțeleagă comportamentul unor mase mari de materie în termenii legilor comportamentului atomic se numește fizica stării solide.

Dar cum rămâne cu eroarea din calculele noastre? De ce nu sunt complet adevărate? Nu am ținut cont de repulsia dintre ioni la distanțe apropiate. Acestea nu sunt sfere complet rigide, așa că atunci când se apropie, se aplatizează puțin. Dar nu sunt foarte moi și se aplatizează doar puțin. Cu toate acestea, o parte de energie este cheltuită pentru această deformare, iar atunci când ionii se despart, această energie este eliberată. Energia care este de fapt necesară pentru a separa toți ionii este puțin mai mică decât am calculat; repulsia ajută la depășirea atracției electrostatice.

Este posibil să se estimeze cumva ponderea acestei respingeri? Da, dacă cunoaștem legea forței respingătoare. Încă nu putem analiza detaliile mecanismului de repulsie, dar ne putem face o idee despre caracteristicile acestuia din măsurători macroscopice. Măsurare compresibilitate cristal în ansamblu, se poate obține o idee cantitativă a legii de repulsie între ioni și, prin urmare, a contribuției sale la energie. În acest fel s-a descoperit că această contribuție ar trebui să fie de 1/9,4 din contribuția atracției electrostatice și să aibă în mod natural semnul opus. Dacă scădem această contribuție din energia pur electrostatică, obținem numărul 7,99 pentru energia de disociere pe moleculă ev. Acesta este mult mai aproape de rezultatul observat de 7,92 ev, dar tot nu în perfect acord. Mai este un lucru pe care nu l-am luat în considerare: nu am făcut nicio presupunere cu privire la energia cinetică a vibrațiilor cristalului. Dacă corectăm acest efect, atunci va apărea imediat un acord foarte bun cu valoarea experimentală. Aceasta înseamnă că ideile noastre sunt corecte: principala contribuție la energia unui cristal precum NaCl este electrostatică.

§ 4. Energia electrostatică a nucleului

Să ne întoarcem acum la un alt exemplu de energie electrostatică în fizica atomică - energia electrostatică a nucleului atomic. Înainte de a aborda această problemă, trebuie să luăm în considerare unele proprietăți ale acelor forțe fundamentale (numite forțe nucleare) care țin împreună protonii și neutronii din nucleu. La început, după descoperirea nucleelor - și a protonilor cu neutronii care îi alcătuiesc - ei sperau că legea părții puternice, neelectrice a forței care acționează, de exemplu, între un proton și altul, va avea niște simple formează, asemănător, să zicem, legea pătratelor inverse în electricitate. Dacă ar fi posibil să se determine această lege a forțelor și, în plus, forțele care acționează între un proton și un neutron și între un neutron și un neutron, atunci ar fi posibil să se descrie teoretic întregul comportament al acestor particule în nuclee. Prin urmare, un program amplu a început să studieze împrăștierea protonilor în speranța de a găsi legea forțelor care acționează între ei; dar după treizeci de ani de efort nu a apărut nimic simplu. S-a acumulat o cantitate considerabilă de cunoștințe despre forțele care acționează între proton și proton, dar s-a descoperit că aceste forțe sunt atât de complexe pe cât se poate imagina.

Prin „cât de complex posibil” înțelegem că forțele depind de toate cantitățile de care ar putea depinde.

În primul rând, forța nu este o simplă funcție a distanței dintre protoni. La distanțe mari există atracție, la distanțe mai mici există repulsie.

Smochin. 8.6. Puterea interacțiunii dintre doi protoni depinde de fiecare parametru imaginabil.

Dependența de distanță este o funcție complexă, încă necunoscută. În al doilea rând, forța depinde de orientarea spinului protonului. Protonii au spin, iar doi protoni care interacționează se pot roti în direcții identice sau opuse. Și forța atunci când rotiri sunt paralele este diferită de ceea ce se întâmplă atunci când rotiri sunt antiparalele (Fig. 8.6, AȘi b). Diferența este mare; nu poate fi neglijat.

În al treilea rând, forța se schimbă considerabil, în funcție de paralel fie nu există niciun decalaj între protoni de pe spinurile lor (Fig. 8.6, c și d), fie ei perpendicular(Fig. 8.6, AȘi b).

În al patrulea rând, forța, ca și în magnetism, depinde (și chiar mult mai puternic) de viteza protonilor. Și această dependență de viteză a forței nu este nicidecum un efect relativist; este mare chiar și atunci când viteza este mult mai mică decât viteza luminii. Mai mult, această parte a forței depinde, pe lângă mărimea vitezei, de alte lucruri. De exemplu, atunci când un proton se mișcă aproape de un alt proton, forța se schimbă în funcție de dacă mișcarea orbitală coincide în direcția cu rotația spinului (Fig. 8.6, d), sau aceste două direcții sunt opuse (Fig. 8.6, e). Aceasta este ceea ce se numește partea „spin-orbita” a forței.

Forțele de interacțiune dintre un proton și un neutron și un neutron cu un neutron nu sunt mai puțin complexe. Până astăzi nu cunoaștem mecanismul care determină aceste forțe, nu cunoaștem niciuna calea usoara intelege-le.

Cu toate acestea, într-un aspect important, forțele nucleare sunt încă Mai uşor, ceea ce ar fi putut fi. Nuclear forțele care acționează între doi neutroni sunt aceleași cu forțele care acționează între un proton și un neutron și forțele care acționează între doi protoni! Dacă într-un sistem în care există nuclee înlocuim neutronul cu un proton (și invers), atunci interacțiuni nucleare nu se va schimba! „Motivul fundamental” pentru această egalitate nu ne este cunoscut, dar este o manifestare a unui principiu important care poate fi extins la legile interacțiunii altor particule care interacționează puternic, cum ar fi n-mezonii și particulele „ciudate”.

Acest fapt este perfect ilustrat de dispunerea nivelurilor de energie în nuclee similare.

Smochin. 8.7. Nivelurile energetice ale nucleelor B 11 și C 11 (energie în MeV). Starea fundamentală C 11 1,982 MeV mai mare decât aceeași stare B 11 .

Luați în considerare un nucleu precum B 11 (bor-unsprezece), format din cinci protoni și șase neutroni. În miez, aceste unsprezece particule interacționează între ele, realizând un fel de dans complicat. Dar există o combinație a tuturor interacțiunilor posibile care are cea mai mică energie posibilă; aceasta este starea normală a nucleului și se numește principal Dacă nucleul este perturbat (să zicem, lovindu-l cu un proton de înaltă energie sau cu o altă particulă), atunci el poate intra în orice număr de alte configurații, numite stări excitate, fiecare dintre acestea va avea propria sa energie caracteristică, care este mai mare decât energia stării fundamentale. În cercetările de fizică nucleară, cum ar fi cea efectuată cu un generator Van de Graaff, energiile și alte proprietăți ale acestor stări excitate sunt determinate experimental. Energiile celor cincisprezece cele mai joase stări excitate cunoscute ale lui B 11 sunt prezentate în diagrama unidimensională din jumătatea stângă a Fig. 8.7. Linia orizontală de mai jos reprezintă starea fundamentală. Prima stare excitată are o energie de 2,14 Mev mai mare decât cea principală, următoarea este 4,46 Mev mai mare decât cea principală etc. Cercetătorii încearcă să găsească o explicație pentru această imagine destul de confuză a nivelurilor de energie; Până acum, însă, nu există o teorie generală completă a unor astfel de niveluri de energie nucleară.

Dacă în B 11 unul dintre neutroni este înlocuit cu un proton, se obține nucleul izotopului de carbon C 11. Au fost măsurate și energiile celor șaisprezece stări excitate cele mai joase ale nucleului C 11; sunt prezentate în Fig. 8.7 pe dreapta. (Nivelurile pentru care informațiile experimentale sunt în discuție sunt indicate prin liniuțe.)

Privind la FIG. 8.7, observăm o similitudine izbitoare între modelele de nivel de energie ale ambelor nuclee. Primele stări excitate sunt situate la aproximativ 2 Mev deasupra celui principal. Apoi există un decalaj larg cu o lățime de 2,3 Maev, separând a doua stare excitată de prima, apoi un mic salt de 0,5 Mev până la nivelul trei. Apoi, din nou, există un salt mare de la al patrulea la al cincilea nivel, dar între al cincilea și al șaselea există un decalaj îngust de 0,1 Mev.Și așa mai departe. Cam la al zecelea nivel corespondența pare să dispară, dar ea poate fi totuși detectată dacă etichetăm nivelurile cu alte caracteristici, să zicem momentul lor unghiular și modul în care își pierd energia în exces.

Asemănarea impresionantă dintre nivelurile de energie ale nucleelor B 11 și C 11 nu este în niciun caz doar o coincidență. Ascunde o lege fizică în spatele ei. Și într-adevăr, arată că chiar și în conditii dificile nucleu, înlocuirea unui neutron cu un proton se va schimba puțin. Acest lucru poate însemna doar că forțele neutron-neutron și proton-proton ar trebui să fie aproape aceleași. Numai atunci ne-am aștepta ca configurațiile nucleare de cinci protoni și șase neutroni să se potrivească cu combinația de cinci neutroni-șase-protoni.

Rețineți că proprietățile acestor nuclee nu ne spun nimic despre forțele neutron-protoni; numărul de combinații neutron-protoni din ambele nuclee este același. Dar dacă comparăm alte două nuclee, cum ar fi C 14 cu cei șase protoni și cei opt neutroni ai săi și N 14, în care există șapte dintre ambii, vom dezvălui aceeași corespondență în nivelurile de energie. Se poate concluziona că p-p-, n-n-Și R-n-forțele coincid între ele în toate detaliile. Un principiu neașteptat a apărut în legile forțelor nucleare. Deși forțele care acționează între fiecare pereche de particule nucleare sunt foarte complicate, forțele de interacțiune pentru oricare dintre cele trei perechi imaginabile sunt aceleași.

Cu toate acestea, există câteva mici diferențe. Nu există o corespondență exactă între niveluri; în plus, starea fundamentală a lui C 11 are o energie (masă) absolută care este 1,982 Mev deasupra stării fundamentale B 11. Toate celelalte niveluri sunt, de asemenea, mai mari în energie absolută cu același număr. Deci forțele nu sunt exact egale. Dar știm deja foarte bine asta deplin, magnitudinea forțelor nu este exact aceeași; acţionează între doi protoni electric forțe, deoarece fiecare dintre ele este încărcat pozitiv, dar nu există astfel de forțe între neutroni. Poate că diferența dintre B 11 și C 11 se explică prin faptul că în aceste două cazuri interacțiunile electrice ale protonilor sunt diferite? Sau poate că diferența minimă rămasă de niveluri este cauzată de efecte electrice? Deoarece forțele nucleare sunt atât de puternice în comparație cu cele electrice, atunci efectele electrice ar putea perturba doar puțin nivelurile de energie.

Pentru a testa această idee, sau mai bine zis, pentru a afla la ce consecințe va duce, luăm în considerare mai întâi diferența dintre energiile stărilor fundamentale ale ambelor nuclee. Pentru a face modelul foarte simplu, să presupunem că nucleele sunt bile cu raza r (care trebuie determinată) care conțin protoni Z. Dacă considerăm nucleul ca fiind o minge cu o sarcină distribuită uniform, atunci ne putem aștepta ca energia electrostatică [din ecuația (8.7)] să fie egală cu

Unde q e - sarcina elementară a unui proton. Datorită faptului că Z este egal cu cinci pentru B 11 și șase pentru C 11, energiile electrostatice vor diferi.

Dar cu un număr atât de mic de protoni, ecuația (8.22) nu este în întregime corectă. Dacă calculăm energia electrică de interacțiune a tuturor perechilor de protoni, considerate puncte distribuite aproximativ uniform pe minge, vom vedea că valoarea Z 2 din (8.22) va trebui înlocuită cu Z Z- 1), deci energia va fi egală

Dacă raza nucleului r este cunoscută, putem folosi expresia (8.23) pentru a determina diferența dintre energiile electrostatice ale nucleelor B 11 și C 11. Dar să facem invers: din diferența observată de energii, calculăm raza, presupunând că întreaga diferență existentă este de origine electrostatică. În general, acest lucru nu este în întregime adevărat. Diferența energetică 1.982 Mev două stări principale B 11 și C 11 includ energii de repaus, adică energii tc 2 toate particulele. Trecând de la B 11 la C 11, înlocuim neutronul cu un proton, a cărui masă este puțin mai mică. Deci o parte din diferența de energie este diferența dintre masele de rest ale neutronului și protonului, care este 0,784 Mev. Diferența care trebuie comparată cu energia electrostatică este deci mai mare de 1.982 Mev; este egal

Înlocuind această energie în (8.23), pentru raza B 11 sau C 11 obținem

Are acest număr vreo semnificație? Pentru a verifica acest lucru, să-l comparăm cu alte definiții ale razelor acestor nuclee.

De exemplu, puteți determina raza nucleului în mod diferit, observând modul în care acesta împrăștie particulele rapide. În timpul acestor măsurători s-a dovedit că densitate substanța din toate nucleele este aproximativ aceeași, adică volumele lor sunt proporționale cu numărul de particule pe care le conțin. Dacă prin A desemnează numărul de protoni și neutroni din nucleu (un număr foarte strâns proporțional cu masa acestuia), rezultă că raza nucleului este dată de

Din aceste măsurători obținem că raza nucleului B 11 (sau C 1 1) ar trebui să fie aproximativ egală cu

Comparând aceasta cu expresia (8.24), vom vedea că ipotezele noastre despre originea electrostatică a diferenței de energii ale lui B 11 și C 11 nu sunt atât de incorecte; discrepanța abia ajunge la 15% (și acest lucru nu este atât de rău pentru primul calcul conform teoriei nucleare!).

Motivul discrepanței este cel mai probabil următorul. Conform înțelegerii noastre actuale despre nuclee, un număr par de particule nucleare (în cazul B 11, cinci neutroni cu cinci protoni) formează un fel de coajă; atunci când o altă particulă este adăugată la această înveliș, în loc să fie absorbită, începe să orbiteze în jurul cochiliei. Dacă este așa, atunci pentru protonul suplimentar trebuie să luați o valoare diferită a energiei electrostatice. Trebuie să presupunem că excesul de energie al lui C 11 peste B 11 este exact egal cu

adică este egală cu energia necesară pentru ca un alt proton să apară în afara învelișului. Acest număr este 5/6 din valoarea prezisă de ecuația (8.23), deci noua valoare a razei va fi egală cu 5/6 din (8.24). Se potrivește mult mai bine cu măsurătorile directe.

Acordul în cifre conduce la două concluzii. Primul: legile electricității se pare că operează la distanțe atât de mici precum 10 -1 3 vezi a doua: Suntem convinși de o coincidență remarcabilă - partea non-electrică a forțelor de interacțiune a protonului cu protonul, neutronul cu neutronul și protonul cu neutronul este aceeași.

§ 5. Energia într-un câmp electrostatic

Să luăm acum în considerare alte moduri de a calcula energia electrostatică. Toate pot fi obținute din relația principală (8.3) prin însumarea (peste toate perechile) energiilor reciproce ale fiecărei perechi de sarcini. În primul rând, dorim să scriem o expresie pentru energia de distribuție a sarcinii. Ca de obicei, presupunem că fiecare element de volum dV conține un element de încărcare p.d.V. Atunci ecuația (8.3) se va scrie după cum urmează:

Observați aspectul factorului 1/2. A apărut datorită faptului că în integrala dublă peste dV 1 și prin dV 2 fiecare pereche de elemente de sarcină a fost numărată de două ori. (Nu există o notație convenabilă pentru integrala în care fiecare pereche este numărată o singură dată.) Apoi rețineți că integrala peste dV 2 în (8.27) este pur și simplu potențialul la punctul (1), adică.

deci (8.27) se poate scrie ca

Și din moment ce punctul (2) a renunțat, putem scrie pur și simplu

Această ecuație poate fi interpretată după cum urmează. Energia potențială de încărcare rdV egal cu produsul acestei sarcini și potențialul în același punct. Toată energia este deci egală cu integrala lui jrdV. Dar, pe lângă aceasta, există un factor de 1/2. Este încă necesar pentru că energiile sunt numărate de două ori. Energia reciprocă a două sarcini este egală cu sarcina uneia dintre ele asupra potențialului celeilalte în acest punct. Sau sarcina celuilalt față de potențialul primului în al doilea punct. Deci pentru două taxe punctuale putem scrie

Vă rugăm să rețineți că acest lucru poate fi scris și astfel:

Integrala din (8.28) corespunde adunării ambilor termeni dintre parantezele expresiei (8.29). De aceea este nevoie de multiplicatorul 1/2.

O altă întrebare interesantă este: unde se află energia electrostatică? Adevărat, se poate întreba ca răspuns: chiar contează?

Are sens o astfel de întrebare? Dacă există o pereche de sarcini care interacționează, atunci combinația lor are ceva energie. Este cu adevărat necesar să lămurim că energia este concentrată pe această sarcină, sau pe aceea, sau pe ambele deodată, sau între ele? Toate aceste întrebări sunt lipsite de sens, pentru că știm că, de fapt, se conserva doar energia totală, totală. Ideea că energia este concentrată undeva, nu chiar necesar.

Ei bine, să presupunem în continuare că faptul că energia este întotdeauna concentrată într-un anumit loc (cum ar fi energia termică) într-adevăr există un sens. Atunci am putea principiul nostru de conservare a energiei extinde, legând-o cu ideea că dacă energia se modifică într-un anumit volum, atunci această modificare poate fi luată în considerare prin observarea afluxului sau ieșirii de energie din volum. Înțelegeți că afirmația noastră inițială despre conservarea energiei va fi încă perfect adevărată dacă o energie dispare într-un loc și apare undeva departe în altul și nu se întâmplă nimic între aceste locuri (nimic - asta înseamnă că nu vor avea loc fenomene speciale) . Prin urmare, acum putem trece la extinderea ideilor noastre despre conservarea energiei. Să numim această extensie principiul local conservarea energiei (locale). Un astfel de principiu ar declara că energia din orice volum dat se modifică doar cu o cantitate egală cu afluxul (sau pierderea) de energie în (sau din) volum. Într-adevăr, o astfel de conservare locală a energiei este destul de posibilă. Dacă este așa, atunci vom avea la dispoziție o lege mult mai detaliată decât o simplă afirmație despre conservarea energiei totale. Și, după cum se dovedește, în natură energia este într-adevăr stocată local, în fiecare loc separat, iar formulele pot fi scrise pentru a arăta unde este concentrată energia și cum curge ea dintr-un loc în altul.

De asemenea este si fizic există motive să cerem să putem indica exact unde se află energia. Conform teoriei gravitației, orice masă este o sursă de atracție gravitațională. Si conform legii E=ts 2 știm, de asemenea, că masa și energia sunt destul de echivalente între ele. Prin urmare, toată energia este o sursă de forță gravitațională. Și dacă nu am putea ști unde este energia, nu am putea ști unde este masa. Nu am putea spune unde sunt situate sursele câmpului gravitațional. Iar teoria gravitației ar deveni incompletă.

Desigur, dacă ne limităm la electrostatică, atunci nu avem de unde să știm unde este concentrată energia. Dar sistemul complet al ecuațiilor electrodinamicii lui Maxwell ne va oferi informații incomparabil mai complete (deși nici atunci, strict vorbind, răspunsul nu va fi complet sigur). Vom analiza această problemă mai detaliat mai târziu. Și acum prezentăm doar rezultatul referitor la cazul special al electrostaticei

Smochin. 8.8. Fiecare element de volum dV=dxdydz dintr-un câmp electric conține energie(e 0/2) E 2 dV.

Energia este conținută în spațiul în care există un câmp electric. Acest lucru este aparent destul de rezonabil, deoarece se știe că, pe măsură ce sarcinile accelerează, ele emit câmpuri electrice. Și când lumina sau undele radio călătoresc dintr-un punct în altul, își poartă energia cu ele. Dar aceste valuri nu au taxe. Așa că aș dori să plasez energia acolo unde există un câmp electromagnetic și nu acolo unde există sarcini care creează acest câmp. Astfel, descriem energia nu în limbajul sarcinilor, ci în limbajul câmpurilor pe care le creează. Într-adevăr, putem arăta că ecuația (8.28) numeric coincide cu

Această formulă poate fi interpretată spunând că în locul din spațiu unde este prezent câmpul electric, energia este concentrată; densitate ee (cantitatea de energie pe unitatea de volum) este egală cu

Această idee este ilustrată în FIG. 8.8.

Pentru a arăta că ecuația (8.30) este în concordanță cu legile noastre de electrostatică, începem prin a introduce în ecuația (8.28) relația dintre r și j obținută în capitolul. 6:

După ce am scris expresia integrand pe componente, noi

vom vedea asta

Și integrala noastră energetică este atunci egală cu

Folosind teorema lui Gauss, a doua integrală poate fi transformată într-o integrală de suprafață:

Vom calcula această integrală pentru cazul în care suprafața se extinde la infinit (astfel încât integrala peste volum devine o integrală pe întreg spațiul), iar toate sarcinile sunt situate la o distanță finită unele de altele. Cel mai simplu mod de a face acest lucru este să luați suprafața unei sfere de rază uriașă cu centrul ei la origine. Știm că departe de toate sarcinile j se modifică ca 1/R și Сj ca 1/R 2 . (Și chiar mai repede dacă sarcina totală este zero.) Aria suprafeței unei sfere mari crește doar cu R 2, astfel încât integrala de pe suprafață scade pe măsură ce raza sferei crește cu cât

(1/R)(1/R2)/R2 = (1/R). Deci, dacă integrarea noastră acoperă întregul spațiu (R® Ґ), atunci integrala de suprafață va dispărea și vom găsi

Vedem că este posibil să se reprezinte energia unei distribuții de sarcină arbitrare ca o integrală a densității de energie concentrată în câmp.

§ 6. Energia unei sarcini punctuale

Noua relație (8.35) ne spune că chiar și pentru o taxă punctuală individuală q există un fel de energie electrostatică. Câmpul în acest caz este dat de expresia

deci densitatea de energie la o distanta r de sarcina este egala cu

Un strat sferic de grosime poate fi luat ca element de volum dr, zonă egală cu 4pr 2. Energia totală va fi

Limita superioară r=Ґ nu duce la dificultăți. Dar, deoarece sarcina este un punct, intenționăm să integrăm până la zero (r=0), iar asta înseamnă infinit în integrală. Ecuația (8.35) arată că câmpul unei singure sarcini punctiforme conține o cantitate infinită de energie, deși am plecat de la ideea că există doar energie între taxe punctuale. În forma noastră originală pentru energia unei colecții de sarcini punctuale (8.3), nu am inclus nicio energie pentru interacțiunea unei sarcini cu ea însăși. Ce s-a intamplat atunci? Și faptul că, trecând în ecuația (8.27) la o distribuție continuă a sarcinilor, am numărat interacțiunea oricărei infinitezimal sarcina cu toate celelalte sarcini infinitezimale. Același cont a fost luat în ecuația (8.35), astfel încât atunci când o aplicăm la final sarcină punctiformă, includem în integrală energia care ar fi necesară pentru a acumula această sarcină din părți infinitezimale. Într-adevăr, s-ar putea să fi observat că am putea obține și rezultatul din ecuația (8.36) din expresia (8.11) pentru energia unei bile încărcate, îndreptându-i raza spre zero.

Suntem forțați să ajungem la concluzia că ideea că energia este concentrată într-un câmp nu este în concordanță cu ipoteza existenței unor sarcini punctiforme. O modalitate de a depăși această dificultate este să spunem că sarcinile elementare (cum ar fi un electron) nu sunt de fapt puncte, ci mici distribuții de sarcină. Dar se poate spune și contrariul: incorectitudinea își are rădăcinile în teoria noastră a electricității la distanțe foarte scurte sau în ideea noastră de conservare a energiei în fiecare loc separat. Dar fiecare astfel de punct de vedere încă întâmpină dificultăți. Și nu au fost încă biruite; ele există și astăzi. Puțin mai târziu, când ni se vor prezenta câteva concepte suplimentare, precum pulsul câmpului electromagnetic, vom vorbi mai detaliat despre aceste dificultăți de bază în înțelegerea noastră a naturii.

7. Energia câmpului electric

(Exemple de rezolvare a problemelor)

Încărcare energie de interacțiune

Exemplul 1.

Determinați energia electrică de interacțiune a sarcinilor punctiforme situate la vârfurile unui pătrat cu latura A(vezi fig. 2).

Soluţie.

În Fig. 3, toate interacțiunile perechi ale sarcinilor sunt descrise în mod convențional prin săgeți dublu direcționate. Ținând cont de energiile tuturor acestor interacțiuni, obținem:

Exemplul 2.

Determinați energia electrică de interacțiune a unui inel încărcat cu un dipol situat pe axa sa, așa cum se arată în Fig. 4. Distanțe cunoscute A, l, taxe Q, qși raza inelului R.

Soluţie.

La rezolvarea problemei, ar trebui să se țină cont de toate energiile interacțiunilor de perechi ale sarcinilor unui corp (inel) cu sarcinile altui corp (dipol). Energia de interacțiune a unei sarcini punctiforme q cu taxa Q distribuit pe inel este determinat de suma

Unde
- sarcina unui fragment de inel infinitezimal, - distanta de la acest fragment la sarcina q. Pentru că totul aceleași și egale
, Acea

În mod similar, găsim energia de interacțiune a unei sarcini punctiforme - q cu inel încărcat:

Rezumând W 1 și W 2, obținem pentru energia de interacțiune a inelului cu dipolul:

Energia electrică a conductoarelor încărcate

Exemplul 3.

Determinați munca efectuată de forțele electrice atunci când raza unei sfere încărcate uniform scade cu un factor de 2. Încărcare sferă q, raza sa inițială R.

Soluţie.

Energia electrică a unui conductor solitar este determinată de formula
, Unde q– sarcina conductorului,  – potenţialul acestuia. Având în vedere că potențialul unei sfere de rază încărcate uniform R egală
, să-i găsim energia electrică:

După ce raza sferei este înjumătățită, energia ei devine egală cu

Forțele electrice funcționează

Exemplul 4.

Două bile metalice ale căror raze sunt rși 2 r, iar taxele corespunzătoare sunt 2 qȘi - q, situate în vid la mare distanță unul de celălalt. De câte ori va scădea Energie electrica sistem dacă bilele sunt legate cu un fir subțire?

Soluţie.

După conectarea bilelor cu un fir subțire, potențialele lor devin aceleași

și încărcările constante ale bilelor Q 1 și Q 2 sunt obținute ca urmare a fluxului de sarcină de la o minge la alta. În acest caz, sarcina totală a bilelor rămâne constantă:

Din aceste ecuații găsim

,
.

Energia bilelor înainte ca acestea să fie conectate prin sârmă este egală cu

si dupa conectare

Înlocuirea valorilor în ultima expresie Q 1 și Q 2, obținem după transformări simple

Exemplul 5.

Îmbinat într-o singură minge N= 8 bile identice de mercur, fiecare având o încărcătură q. Presupunând că în starea inițială bilele de mercur se aflau la mare distanță unele de altele, determinați de câte ori a crescut energia electrică a sistemului.

Soluţie.

Când sferele de mercur se îmbină, încărcarea și volumul lor total sunt păstrate:

Unde Q- încărcarea mingii, R- raza sa, r este raza fiecărei bile mici de mercur. Energia electrică totală N bile solitare este egală cu

Energia electrică a mingii rezultate

După transformări algebrice obținem

= 4.

Exemplul 6.

Bilă cu rază metalică R= 1 mm și încărcați q= 0,1 nC de la mare distanță se apropie încet de un conductor neîncărcat și se opresc când potențialul bilei devine egal cu  = 450 V. Ce lucru ar trebui făcut pentru aceasta?

Soluţie.

Unde q 1 și q 2 – sarcinile conductoarelor,  1 și  2 – potențialele acestora. Deoarece conductorul conform problemei nu este încărcat, atunci

Unde q 1 și 1 sarcină și potențialul mingii. Când mingea și conductorul neîncărcat sunt la o distanță mare unul de celălalt,

și energia electrică a sistemului

În starea finală a sistemului, când potențialul bilei devine egal cu , energia electrică a sistemului este:

Munca forțelor externe este egală cu creșterea energiei electrice:

= –0,0225 µJ.

Rețineți că câmpul electric în starea finală a sistemului este creat de sarcinile induse pe conductor, precum și de sarcini distribuite neuniform pe suprafața bilei de metal. Este foarte dificil de calculat acest câmp cu o geometrie cunoscută a conductorului și o poziție dată a bilei metalice. Nu a fost nevoie să facem acest lucru, deoarece problema nu specifică configurația geometrică a sistemului, ci potențialul mingii în starea finală.

Exemplu 7 .

Sistemul este format din două carcase de metal subțiri concentrice cu raze R 1 și R 2 (
și taxele corespunzătoare q 1 și q 2. Găsiți energie electrică W sisteme. Luați în considerare și cazul special când
.

Soluţie.

Energia electrică a unui sistem de doi conductori încărcați este determinată de formula

Pentru a rezolva problema, este necesar să găsim potențialele sferelor interne ( 1) și externe ( 2). Acest lucru nu este dificil de făcut (consultați secțiunea corespunzătoare a manualului):

,
.

Înlocuind aceste expresii în formula pentru energie, obținem

La
energia este egală

Energie electrică proprie și energie de interacțiune

Exemplul 8.

Două sfere conducătoare ale căror sarcini qȘi - q, raze R 1 și R 2 sunt situate în vid, la o distanță mare unul de celălalt. Sferă cu rază mai mare R 2 este format din două emisfere. Emisferele sunt separate, aduse la sfera de rază R 1 și sunt conectate din nou, formând astfel un condensator sferic. Determinați lucrul forțelor electrice cu acest design al condensatorului.

Soluţie.

Energia electrică a două sfere încărcate îndepărtate una de cealaltă este egală cu

Energia electrică a condensatorului sferic rezultat:

Potenţialul sferei interne,
- potentialul sferei externe. Prin urmare,

Lucrarea forțelor electrice cu acest design al condensatorului:

Rețineți că energia electrică a unui condensator sferic W 2 este egal cu munca efectuată de forțele externe pentru a încărca condensatorul. În acest caz, forțele electrice funcționează
. Această lucrare este efectuată nu numai atunci când plăcile încărcate sunt apropiate, ci și atunci când se aplică o încărcare pe fiecare dintre plăci. De aceea A EL este diferită de munca găsită mai sus A, perfecționată de forțe electrice numai atunci când plăcile se unesc.

Exemplul 9.

Taxa punctuala q= 1,5 µC este situat în centrul unei învelișuri sferice, pe suprafața căreia sarcina este distribuită uniform Q= 5 uC. Găsiți munca efectuată de forțele electrice atunci când carcasa se extinde - raza sa crește de la R 1 = 50 mm la R 2 = 100 mm.

Soluţie.

Energia de interacțiune a unei sarcini punctiforme q cu sarcini situate pe un înveliș sferic de rază R egal cu

Energia autoelectrică a învelișului (energia de interacțiune a sarcinilor învelișului între ele) este egală cu:

Lucrul forțelor electrice în timpul expansiunii carcasei:

După transformări obținem

1,8 J.

O alta solutie

Să ne imaginăm o sarcină punctiformă sub forma unei sfere încărcate uniform de rază mică rși încărcați q. Energia electrică totală a sistemului este egală cu

Potenţialul sferei de rază r,

Potenţialul sferei de rază R. Când sfera exterioară se extinde, forțele electrice funcționează

După substituții și transformări obținem răspunsul.

Densitatea energiei câmpului electric volumetric

Exemplu 10 .

Ce parte din energia electrică a unei bile conducătoare încărcate situată în vid este conținută într-o sferă imaginară concentrică cu bila, a cărei rază este n ori mai mare decât raza mingii?

Soluţie.

Densitatea energiei câmpului electric volumetric

definește energia electrică
, localizat într-un volum infinitezimal
(E– modulul vectorului intensităţii câmpului electric în acest volum,  – constantă dielectrică). Pentru a calcula energia electrică totală a unei bile conducătoare încărcate, să împărțim mental tot spațiul în straturi sferice infinit de subțiri concentrice cu bila încărcată. Să luăm în considerare unul dintre aceste straturi de rază r si grosimea dr(vezi Fig. 5). Volumul său este

iar energia electrică concentrată în strat

Tensiune E câmpul unei bile conducătoare încărcate depinde, după cum se știe, de distanță r spre centrul mingii. În interiorul mingii
, prin urmare, la calcularea energiei, este suficient să luăm în considerare doar acele straturi sferice a căror rază r care depăşeşte raza mingii R.

La
intensitatea câmpului

constanta dielectrică
prin urmare

Unde q– încărcarea mingii.

Energia electrică totală a unei bile încărcate este determinată de integrală

iar energia concentrată în interiorul unei sfere imaginare de rază nR, este egal

Prin urmare,

Exemplul 11.

Determinați energia electrică a unui sistem format dintr-o bilă conducătoare încărcată și un strat sferic conducător neîncărcat concentric cu aceasta (Fig. 6). Razele interioare și exterioare ale stratului AȘi b, raza mingii
, taxa q, sistemul este în vid.

Soluţie.

Sarcinile induse sunt distribuite pe suprafețele interioare și exterioare ale stratului sferic. Suma lor algebrică este zero, deci sarcinile induse nu creează un câmp electric la
, Unde r– distanta fata de centrul sistemului. În zonă
intensitatea câmpului sarcinilor induse este, de asemenea, nulă, deoarece acestea sunt distribuite uniform pe suprafețele sferice. Astfel, câmpul electric al sistemului coincide cu câmpul unei sfere încărcate uniform pe suprafață, cu excepția regiunii interioare a stratului sferic, unde E= 0. Figura 7 prezintă un grafic aproximativ al dependenței
. Omitând calcule detaliate (vezi exemplul 10), scriem pentru energia electrică a sistemului:

Unde
,
,
. După integrare obținem

Exemplul 12.

Încărcare inițială q distribuite uniform pe volumul unei mingi cu raza R. Apoi, din cauza respingerii reciproce, încărcăturile se deplasează la suprafața mingii. Ce lucru este efectuat de forțele electrice? Considerați constanta dielectrică ca fiind egală cu unitatea.

Soluţie.

Munca forțelor electrice este egală cu pierderea de energie electrică:

Unde W 1 – energia electrică a unei sfere încărcate uniform, W 2 – energia aceleiași bile, încărcată uniform pe suprafață. Deoarece sarcina totală în ambele cazuri este aceeași, câmpul electric din afara mingii nu se modifică atunci când sarcina trece de la volum la suprafață. Câmpul electric și energia se schimbă doar în interiorul mingii.

Folosind teorema lui Gauss, putem deriva o formulă pentru intensitatea câmpului în interiorul unei bile încărcate uniform la distanță r din centrul ei:

Energia electrică concentrată în interiorul bilei este determinată de integrala:

Când toate sarcinile au fost transferate pe suprafața mingii, câmpul electric și, prin urmare, energia câmpului electric din interiorul mingii, a devenit zero. Prin urmare,