Lucrul cu spațiul gol: de ce golul influențează atât de mult designul. Citirea textului îmbunătățită

Umplerea spațiului cu poliedre

Ce poliedre pot fi folosite pentru a umple spațiul astfel încât oricare două poliedre fie să aibă o față comună, fie o margine comună, fie un vârf comun, fie să nu aibă puncte comune? Această umplere a spațiului cu poliedre se numește parchet spațial.

Este clar că dacă există un parchet pe un plan format din poligoane, atunci prismele, ale căror baze sunt aceste poligoane, vor forma un parchet spațial (Fig. 1). În special, parchetul spațial poate fi compus dintr-un paralelipiped arbitrar, o prismă triunghiulară regulată, o prismă hexagonală regulată etc.

Să aflăm ce poliedre regulate pot fi folosite pentru realizarea unui parchet spațial. Rețineți că atunci când umpleți spațiul cu poliedre, suma unghiurilor diedrice ale poliedrelor adiacente unei margini trebuie să fie de 360°. Prin urmare, din poliedre regulate cu același nume se poate realiza un parchet spațial numai din cele ale căror unghiuri diedrice au forma .

Desigur, parchetul spațial poate fi alcătuit din cuburi egale. Unghiurile diedrice ale unui cub sunt de 90°.

Să găsim unghiurile diedrice ale unui tetraedru regulat. Lăsa ABCD- tetraedru regulat cu muchia 1 (Fig. 2). Din vârfuri AȘi D să scăpăm perpendicularele A.E.Și DE pe margine B.C.. Colţ AED va fi unghiul liniar j al unghiului diedric dorit. Într-un triunghi ADE avem:

.

. De unde φ ≈ 70°30".

Orez. 2

Astfel, dacă mai puțin de șase tetraedre converg pe o muchie, atunci suma unghiurilor lor diedrice este mai mică de 360°, dar dacă luăm șase sau mai multe tetraedre, atunci suma unghiurilor lor diedrice va fi mai mare de 360°. În consecință, este imposibil să se realizeze un parchet spațial din tetraedre obișnuite.

Să găsim unghiurile diedrice ale octaedrului. Să considerăm un octaedru regulat cu muchia 1 (Fig. 3).

Orez. 3

Din vârfuri EȘi F să scăpăm perpendicularele DE EXEMPLU.Și FG pe margine B.C.. Colţ EGF EGF avem:

Folosind teorema cosinusului, găsim . Prin urmare, φ ≈ 109°30". Astfel, dacă mai puțin de patru octaedre converg pe o muchie, atunci suma unghiurilor lor diedrice este mai mică de 360°, dar dacă luăm patru sau mai multe octaedre, atunci suma unghiurilor lor diedrice va fi mai mare de 360°.În consecință, din Este imposibil să se formeze un parchet spațial de octaedre regulate.

Să găsim unghiurile diedrice ale icosaedrului. Luați în considerare un icosaedru regulat cu muchia 1 (Fig. 4).

Orez. 4

Articolul a fost publicat cu sprijinul enciclopediei online ruse „Encyclopedia.ru”. Proiectul de rețea „Encyclopedia.ru” este un analog al site-ului „Wikipedia”. Enciclopedia liberă conține peste 10.000 de articole în limba rusă. Puteți afla mai multe despre proiect, puteți vizualiza articole și portalul comunității pe site-ul web, care se află la: http://ensiklopedia.ru/wiki/Main_page.

Din vârfuri AȘi C să scăpăm perpendicularele A.G.Și C.G. pe margine B.F.. Colţ A.G.C. va fi unghiul liniar j al unghiului diedric dorit. Într-un triunghi A.G.C. avem:

Folosind teorema cosinusului, găsim . Prin urmare, φ ≈ 138°11". Astfel, dacă mai puțin de trei icosaedre converg pe o muchie, atunci suma unghiurilor lor diedrice este mai mică de 360°, dar dacă luăm trei sau mai multe icosaedre, atunci suma unghiurilor lor diedrice va fi mai mare de 360°.În consecință, din Este imposibil să se formeze un parchet spațial folosind icosaedre obișnuite.

Să găsim unghiurile diedrice ale dodecaedrului. Luați în considerare un dodecaedru regulat cu muchia 1 (Fig. 5).

Din vârfuri AȘi C să scăpăm perpendicularele A.G.Și C.G. pe margine B.F.. Colţ A.G.C. va fi unghiul liniar φ al unghiului diedric dorit. Într-un pentagon obișnuit ABCDE laturile sunt egale . A.C. este diagonala acestui pentagon și, prin urmare . In afara de asta, .

Folosind teorema cosinusului, găsim . Prin urmare, φ ≈ 116°34". Astfel, dacă mai puțin de trei dodecaedre converg pe o muchie, atunci suma unghiurilor lor diedrice este mai mică de 360°, dar dacă luăm trei sau mai multe dodecaedre, atunci suma unghiurilor lor diedrice va fi mai mare de 360°.În consecință, din Este imposibil să se formeze și un parchet spațial de dodecaedre regulate.

Orez. 5

Ca urmare, constatăm că singurul poliedru regulat care poate umple spațiul, adică poate crea un parchet spațial, este un cub.

Folosind un cub, poți da exemple de alte poliedre din care poți face un parchet spațial.

Deci, de exemplu, un cub poate fi împărțit în piramide patruunghiulare obișnuite, ale căror baze sunt fețele cubului, iar vârful este centrul cubului (Fig. 6). Una dintre aceste piramide este piramida OABCD. Daca intr-un parchet spatial de cuburi fiecare cub este impartit in piramide patruunghiulare obisnuite, atunci obtinem un parchet spatial din piramide patruunghiulare regulate.

Orez. 6

Piramidă patruunghiulară obișnuită OABCD(Fig. 7) poate fi împărțit în două piramide triunghiulare egale OABCȘi OACD. Împărțirea cuburilor în astfel de piramide oferă un parchet spațial format din piramide triunghiulare - tetraedre. Pentru un cub unitar, aceste tetraedre au muchii egale cu . Tetraedru OABC poate fi împărțit în două tetraedre egale OABPȘi OBCP. Marginile acestor tetraedre sunt egale Tetraedru OABP, la rândul său, poate fi împărțit în două tetraedre egale OARPȘi OBRP. Marginile acestor tetraedre sunt egale În cele din urmă, din două tetraedre egale cu un tetraedru OABP, puteți face un tetraedru OABQ, din care se poate realiza si parchet spatial. Marginile acestui tetraedru sunt egale Rețineți că fețele ultimului tetraedru sunt triunghiuri isoscele egale cu laturi

Orez. 7

Rezultă că nu există alte tetraedre din care să se poată realiza un parchet spațial, cu excepția celor patru tetraedre enumerate mai sus (vezi).

Să dăm și alte exemple de poliedre din care se pot realiza parchete spațiale.

Figura 8 prezintă un dodecaedru rombic - un poliedru a cărui suprafață este formată din douăsprezece romburi egale. Cristalul granat are forma unui dodecaedru rombic. Prin urmare, se mai numește și garnetoedru.

Orez. 8

Un rombododecaedru poate fi obținut din două cuburi, după cum urmează. Să tăiem unul dintre cuburi în șase piramide patrulatere regulate egale cu vârfuri în centrul cubului, ale căror baze sunt fețele cubului. Să plasăm fiecare astfel de piramidă cu baza ei pe fața unui cub netăiat. Obținem un dodecaedru rombic (Fig. 9).

Orez. 9

Să începem acum să creăm parchetul. Să luăm în considerare un parchet spațial de cuburi vopsite alb-negru într-un model de șah, astfel încât doar cuburile alb-negru să se atingă de-a lungul marginilor. Să împărțim cuburile albe în piramide patruunghiulare obișnuite și să le atașăm la cuburile negre adiacente. Ca urmare, obținem parchetul spațial dorit de dodecaedre rombice.

Folosind un dodecaedru rombic, dăm un exemplu de alt poliedru din care se poate realiza un parchet spațial.

Orez. 10

Să tăiem dodecaedrul rombic cu un plan care trece prin centrul cubului înscris în el, paralel cu una dintre fețele cubului. Secțiunea transversală va fi pătrată ABCD cu o latură egală cu diagonala feței cubului (Fig. 10, A). Să introducem o prismă patruunghiulară regulată între cele două jumătăți ale dodecaedrului rombic. Obținem un poliedru a cărui suprafață este formată din douăsprezece fețe: opt romburi și patru hexagoane (Fig. 10, b).

Să arătăm că din astfel de dodecaedre se poate face un parchet spațial. Pentru a face acest lucru, tăiem parchetul de dodecaedre rombice în planuri care trec prin centrele cuburilor negre și paralele cu o față selectată a cubului negru. La intersecția fiecărui astfel de plan cu dodecaedre rombice se formează un parchet plat de pătrate. În fiecare tăietură introducem prisme patrulatere obișnuite, ale căror baze sunt pătrate de parchet plat. Drept urmare, obținem parchetul spațial dorit.

Să dăm un exemplu de alt poliedru din care se poate realiza un parchet spațial. Se numește octaedru trunchiat și se obține dintr-un octaedru prin tăierea piramidelor patruunghiulare regulate de la vârfurile sale, ale căror margini laterale sunt egale cu o treime din muchia octaedrului dat (Fig. 11, A). Fețele octaedrului trunchiat sunt șase pătrate și opt hexagoane regulate (Fig. 11, b).

Orez. unsprezece

Să tăiem octaedrul trunchiat în opt părți egale prin planuri care trec prin perechi de muchii opuse ale octaedrului (Fig. 12).

Orez. 12

Fiecare astfel de parte este o jumătate de cub, obținută prin tăierea cubului de-a lungul unui plan care dă un hexagon regulat în secțiunea cubului.

Dacă luăm două octaedre trunchiate egale, tăiem unul dintre ei în opt părți egale și atașăm aceste părți la fețele hexagonale ale octaedrului trunchiat netăiat, obținem un cub.

Să considerăm un parchet spațial format din cuburi cu octaedre trunchiate înscrise în ele. Aceste octaedre trunchiate nu umplu tot spațiul. Există spații goale între ele. Cu toate acestea, aceste goluri sunt situate în jurul vârfurilor cuburilor și reprezintă o uniune de optaedre trunchiate și, prin urmare, sunt ele însele octaedre trunchiate. Astfel, întregul spațiu se dovedește a fi împărțit în octaedre trunchiate și oricare două astfel de octaedre trunchiate sunt obținute unul de la celălalt prin transfer paralel.

Rețineți că în cinci dintre parchetele spațiale discutate mai sus, poliedrele sunt situate paralel între ele. Acestea sunt parchete din prisme hexagonale, cuburi (paralelepipede), dodecaedre rombice, dodecaedre obținute din dodecaedrul rombic prin adăugarea de prisme pătrangulare regulate și octaedre trunchiate.

Astfel de poliedre convexe, din care se poate alcătui un parchet spațial astfel încât oricare două poliedre din acest parchet să se obțină una de la cealaltă prin translație paralelă, se numesc paraleloedre. Matematician și cristalograf autohton E.S. Fedorov (1853–1919) a demonstrat că există doar cinci tipuri de paraleloedri: un cub (paralelepiped), o prismă hexagonală regulată, un octaedru trunchiat, un dodecaedru rombic și un dodecaedru derivat dintr-un dodecaedru rombic (vezi).

Să dăm exemple de parchete spațiale compuse din mai multe poliedre diferite.

Figura 13 prezintă un poliedru numit cub trunchiat. Fețele sale sunt triunghiuri și octogoane regulate. Se obține dintr-un cub prin tăierea piramidelor triunghiulare regulate de la vârfurile sale. Calculele directe arată că pentru un cub unitar marginile laterale ale acestor piramide ar trebui să fie egale . Dacă într-un parchet spațial de cuburi înlocuiți cuburile cu cuburi trunchiate, atunci între ele vor exista goluri sub formă de octaedre. Astfel, cuburile trunchiate și octaedrele formează un parchet spațial.

Orez. 13

Figura 14 prezintă un poliedru numit cuboctaedru. Fețele sale sunt șase pătrate (ca un cub) și opt triunghiuri regulate (ca un octaedru). Se obține dintr-un cub prin tăierea piramidelor triunghiulare regulate de la vârfurile sale, ale căror margini laterale sunt egale cu jumătate din marginea cubului. Dacă într-un parchet spațial de cuburi înlocuiți cuburile cu cuboctaedre, atunci între ele vor rămâne goluri sub formă de octaedre. Astfel, cuboctaedrele și octaedrele formează un parchet spațial.

Orez. 14

Să considerăm un parchet spațial format din cuburi cu tetraedre regulate înscrise în ele (Fig. 15).

Orez. 15

Aceste tetraedre nu umplu tot spațiul. Există spații goale între ele. Cu toate acestea, aceste goluri sunt situate în jurul vârfurilor cuburilor și reprezintă o uniune de optaedre și, prin urmare, sunt octaedre în sine. Astfel, avem un parchet spațial compus din tetraedre și octaedre obișnuite.

Figura 16 prezintă un poliedru numit rombicuboctaedru. Fețele sale sunt pătrate și triunghiuri regulate. Se obține dintr-un cub unitar după cum urmează. Să mutăm fețele cubului în direcția de la centrul său la o distanță egală cu . Vârfurile acestor fețe vor servi drept vârfuri ale rombicuboctaedrului dorit. Vom umple spațiul cu rombicuboctaedre, combinând fețele lor obținute din fețele cubului. Vom aseza cuburi pe fetele patrate ramase ale rombocuboctaedrelor, iar pe fetele triunghiulare vom aseza cuboctaedre. Ca urmare, obținem un parchet spațial compus din rombicuboctaedre, cuburi și cuboctaedre.

Figura 17 prezintă un poliedru numit cuboctaedru trunchiat. Fețele sale sunt octogoane regulate, hexagoane și pătrate. Se obține dintr-un cub trunchiat după cum urmează. Să mutăm fețele octogonale ale unui cub trunchiat, ale cărui muchii sunt egale cu 1, în direcția de la centrul său la o distanță egală cu . Vârfurile acestor fețe vor servi drept vârfuri ale cuboctaedrului trunchiat dorit.

Vom umple spațiul cu cuboctaedre trunchiate, combinând fețele lor obținute din fețele octogonale ale unui cub trunchiat, astfel încât fețele hexagonale ale unui cuboctaedru trunchiat să se învețe cu fețele pătrate ale altui cuboctaedru. Golurile dintre aceste cuboctaedre trunchiate vor avea forma de octaedre trunchiate. Astfel, aceste cuboctaedre trunchiate și octaedre trunchiate vor forma un parchet spațial.

În concluzie, vă oferim exerciții pentru soluție independentă.

Exerciții

1. Este posibil să creați un parchet spațial din arbitrar:

a) prismă triunghiulară;

b) prismă pătrangulară;

c) o prismă hexagonală?

2. Se poate face un parchet din vreo prisma pentagonala?

3. Aflați unghiurile diedrice formate de fețele:

a) octaedru trunchiat;

b) dodecaedru rombic.

4. Vârfurile căror poliedru sunt centrele fețelor dodecaedrului rombic?

5. Arătați că piramidele patruunghiulare și hexagonale regulate egale pot fi folosite pentru a forma un parchet spațial.

6. Aflați unghiurile diedrice ale tetraedrelor din care se poate realiza un parchet spațial.

7. Este posibil să se realizeze un parchet spațial dintr-o cruce spațială - un poliedru obținut prin combinarea a șapte cuburi (Fig. 18).

Orez. 18

8. Figura 19 prezintă un poliedru numit octaedru stelat, rezultat dintr-o continuare a fețelor octaedrului. A fost descoperit de Leonardo da Vinci, apoi, aproape o sută de ani mai târziu, redescoperit de I. Kepler și numit de el Stella octangula- stea octogonală. Ce poliedru obișnuit trebuie adăugat la acesta pentru a putea fi folosit pentru a crea un parchet spațial?

Orez. 19

9. Dualul la un parchet spațial format din poliedre având un centru de simetrie este un parchet spațial din poliedre ale cărui vârfuri sunt centrele poliedrelor acestui parchet. Ce parchete spațiale sunt duale cu parchetul: a) din cuburi; b) prisme triunghiulare regulate; c) prisme hexagonale regulate?

10. Găsiți parchete spațiale duale cu parchete:

a) din octaedre trunchiate;

b) dodecaedre rombice;

c) dodecaedre obţinute din dodecaedre rombice?

Literatură

1. Bonchkovsky R.N. Umplerea spațiului cu tetraedre // Educație matematică, 1935, nr. 4, p. 26-40. (Disponibil pe site-ul www.mccme.ru)
2. Delaunay B., Jitomirsky O. Cartea cu probleme de geometrie. - M.–L.: Stat. ed. tehnico-teoretic. Literatură, 1950. (Disponibil pe site-ul www.mccme.ru)
3. Smirnova I.M., Smirnov V.A. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 în instituțiile de învățământ general. - M.: Mnemosyne, 2006.

Fiecare persoană, ca individ, trebuie să aibă propriile interese, scopuri și planuri. Dependența de o altă persoană se naște atunci când spațiul cuiva nu este plin. Fă-ți viața interesantă, împlinită și activă, pentru ca mai târziu să nu-ți amintești de serile nesfârșite în fața televizorului!

Bună, Ekaterina!

Salut Olga!

Am nevoie de ajutorul tău, am citit răspunsurile tale pe site și mi-a plăcut mult simplitatea și ușurința lor.

Spune-mi, Olya, o să ne dăm seama împreună.

Am 43 de ani. Au trecut aproape trei ani de când m-am mutat la Moscova. Caut bani mari. Soțul meu a murit devreme, eu și fiul meu am trăit singuri 15 ani. Și aici am început să trăiesc cu un bărbat, relația a început în orașul de unde veneam. Lucrează și la Moscova. Misha m-a curtat mult, mi-a căutat favoarea, dar încă îmi era frică să încep.

Ți-a fost teamă să fii din nou singur, să experimentezi din nou pierderea?

Cel mai probabil, da, dar am reușit totuși să fac față. Și după ce m-am mutat la Moscova, a închiriat un apartament, iar șase luni mai târziu am început să trăim împreună și trăim de mai bine de doi ani. Dar acum mă simt inconfortabil.

Cu ce ​​este legat asta?

Când am venit pe site-ul tău, mi-am dat seama că relația noastră, deși bună, era foarte dependentă, mai ales de partea mea. Și dacă asta va continua, atunci nu vor dura mult, dar mi-aș dori o relație mai profundă, mai puternică, mai lungă, mai de încredere.

Cum se manifestă dependența în cazul tău?

Mă gândesc mult la el când nu este acolo, încep să-mi fac griji și să pictez imagini triste în capul meu, apoi încep să sun. Nu, să nu sun, ci, mai precis, să sune. Și înțeleg asta, dar nu pot face nimic cu mine.

Olya, dependența de o altă persoană se naște atunci când spațiul tău nu este plin. Când există gol în interiorul tău și dintr-o dată apare un bărbat, te umpli de problemele lui, de grijile lui, de interesele lui, de scopurile lui. Nu ar trebui să fie așa. Fiecare persoană, ca individ, trebuie să aibă propriile interese, scopuri și planuri.

Înțeleg despre ce vorbești. Acum citesc multă literatură psihologică și înțeleg că spațiul meu personal trebuie umplut cu ceva mai distractiv și mai vesel: comunicare, un fel de activitate.

Olga, ce te împiedică să-ți umpli spațiul atunci?

Specificul unui oraș mare este de așa natură încât nu am reușit încă să fac cunoștințe. Acasa de la serviciu, intra in magazin - si gata. Nu pot merge la niciun curs. A mai rămas foarte puțin timp pentru tine. Și cursurile sunt foarte scumpe. Am vrut să merg mai întâi la engleză, dar mi s-a părut foarte scump. Spune-mi, cum pot să încep să mă „dezbloc” de bărbatul meu?

Olya, înțeleg că este un oraș mare, nu există cunoștințe și toate astea. Dar vreau să spun că toate acestea sunt scuze. Și până când tu însuți nu începi să creezi aceste noi cunoștințe utile, ele nu vor apărea niciodată. Ești deja un om grozav pentru a-ți înțelege situația și a încerca să o rezolvi. Lăudați-vă deja pentru asta. Puțini oameni sunt capabili de asta!!!

Nu vă umpleți spațiul personal prețios cu discuții inutile și comunicare agravantă. NU ar trebui să-l umpleți cu NICIO activități!!!

„Deblocați” începeți cu ceea ce vă interesează acum. Începeți să creați artificial lucruri pentru dvs. Ține-te ocupat cu lucruri mai mult sau mai puțin interesante. Chiar acum - ce ai face dacă ai avea totul? Și timpul, și, și dorința?

Ei bine, nu știu. Probabil că mi-aș face părul. Îmi place foarte mult să mă joc cu părul, chiar și cu părul altora. Dar o astfel de oportunitate apare rar.

Olya, trebuie create oportunități. De ce, dacă nu ai niciun scop să lucrezi pentru o companie străină? Trebuie să înveți o limbă dintr-un motiv sau dacă îți place cu adevărat, dar pur și simplu nu ar trebui să urmezi cursuri. Va fi puțin sens.

Dacă îți plac coafurile și părul, studiază coafura și machiajul.

Privește-te sincer în oglindă și evaluează-te. arăți bine? Ai putea arăta mai bine? Ce trebuie făcut pentru asta? Studiază-ți structura corpului și alege-ți singur un stil nou. (Dacă este necesar).

Începeți să desenați sau să tricotați, să cântați sau să dansați, alegeți singuri. Și nu te limita. Căutați oportunități. Fără bani - găsiți o cale gratuită sau la un cost minim. Nu există timp - găsiți cum puteți combina unul cu celălalt. În general, căutați oportunități!

Suntem femei, flexibilitatea este în sânge și Abilități creative. Deci creează, care este problema?

Lucruri pe care o femeie trebuie să le facă pentru sănătatea mintală:

1. Joacă sportul tău preferat.

2. Găsiți activități care vă plac.

3. Mergeți singur cel puțin 30 de minute.

4. , măști, îngrijire.

5. Masați de 2-3 ori pe săptămână.

6. muzica pe placul tau.

7. Comunicarea cu copiii și persoanele în vârstă.

8. Caritate.

9. Comunicarea cu un mentor, sau mai bine zis, un mentor.

10. Citirea cărților de promovare.

Acesta este minimul de ceea ce poți face în timpul liber.

Fă-ți viața interesantă, împlinită și activă, pentru ca mai târziu să nu-ți amintești de serile nesfârșite în fața televizorului!

Multumesc mult, Ekaterina. Mi-am dat seama că mă limiteam. Dacă ai ști câtă literatură psihologică s-a citit înainte de discuția cu tine și lucrurile sunt încă acolo! Iti multumesc din nou!

Cu drag, psiholog Ekaterina Kovaleva

→ Umplerea spațiului gol. Scrieri de mână și confuzie.

Ultima dată când am vorbit despre cărți de colorat pentru adulți, subiectul acestui blog este umplerea spațiului gol al unei foi și tehnici (tehnici) de desen precum Zentangle, Doodling și varietățile lor.

Prima tehnică Zentangle. Mai întâi, să definim ce este Zentangle. Zentangle este un concept înregistrat (sau de marcă) care denotă o tehnică de desen meditativ. Tehnica a fost creată în urmă cu mai bine de zece ani de către artistul de tip american Maria Thomas și Rick Roberts, care a fost călugăr pentru o lungă perioadă de timp. Nu există o definiție a acestui cuvânt în dicționar. Dar constă din două părți - „zen” și „încurcă”. „Zen” este „zen” (ca în „Budismul Zen”) - formular complet iluminarea. Iar „încurcarea” se traduce prin „plex”, „minge încurcată”, „tulburare”. Se pare că Zentangle este un design abstract creat pe baza modelelor repetate. În același timp, atunci când desenează, o persoană atinge relaxarea maximă, similară cu meditația. Zentangle se mai numește și grafică Zen sau desen meditativ. De fapt, Zentangle este, în primul rând, o imersiune în procesul de desen în sine. Concentrare pe fiecare linie. Desenul este atât planificat, cât și spontan. Planificat deoarece se folosesc modele speciale de încurcături (atât modelele individuale, cât și modelele gata făcute se numesc încurcături), desenate pas cu pas după o schemă binecunoscută, constând dintr-un număr limitat de elemente. Spontan - deoarece combinația de încurcături și execuția specifică nu sunt planificate în prealabil. În general, principalul lucru în Zentangle este că procesul este mai important decât rezultatul.

Dacă vrei să înveți Zentangle, atunci recomand din nou site-ul complet unic al Ritei Nikolaeva: http://dotslinespatterns.com/category/zentangle-%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B1%D0% B5%D0% B7/

Și aici este acest site minunat. Informațiile sunt foarte extinse și detaliate: http://ru.wikihow.com/%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B0 %D1 %82%D1%8C-%D0%97%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%BB

A doua tehnică a noastră este Doodling (sau Zendudling). Sau Doodle. Spre deosebire de Zentangle, acesta este un desen inconștient, neplanificat și în curs de dezvoltare spontan. Mâzgălirea apare atunci când ne concentrăm pe altceva, de obicei legat de ascultare. Desenul constă din elemente simple - cercuri, squiggles, diamante, puncte, bețe și altele. Cu toate acestea, aceste elemente simple pot crea compoziții complexe care uimesc imaginația. Ele pot fi spălate cu mici mâzgăleți sau pot fi foarte complexe și umplute artistic.

Dudling are două aspecte pozitive:

- Mâzgălirea ca un desen inconștient care îți permite să „oprești creierul”, ceea ce deschide calea către creativitate pură, neconstrânsă de reguli.

- Mâzgălitul, în mod paradoxal, nu distrage atenția, ci ajută la reținerea atenției sertarului.

Există chiar și o întreagă direcție bazată pe Doodling - acestea sunt cărți de artă, dar vă voi povesti despre ele data viitoare.

A treia tehnică este Zenart (sau ZIA)– Zenart este considerat a fi orice abatere de la regulile de desen - desen cu pixuri colorate sau colorarea unei imagini cu culoare sau folosind hârtie de format mare sau groasă, de exemplu, un album. De asemenea, este considerat Zenart dacă desenezi ceva specific cu încurcături: un trandafir, un arici, o bufniță. Sau desenați designul pereților sau a unei pungi de țesătură deloc pe hârtie.

Încă din vremea grecilor antici, se cunosc cinci solide platonice - poliedre regulate, care se disting prin cel mai înalt grad de simetrie. Acestea sunt tetraedrul, cubul, octaedrul, icosaedrul și dodecaedrul, sunt prezentate în Fig. 1.

Este ușor să umpleți întreg spațiul cu cuburi identice fără goluri sau suprapuneri, astfel încât oricare două cuburi adiacente să se intersecteze fie la un vârf, fie de-a lungul unei margini, fie de-a lungul unei fețe (Fig. 2).

Sarcină

A) Dovedi că alte solide platonice nu permit o astfel de umplere a spațiului.

b) Vino cu, cum să umpleți spațiul dacă puteți utiliza diferite solide platonice.

Sfat 1

Să presupunem că există o umplere a spațiului cu solide platonice (nu neapărat identice). Să luăm în considerare marginea uneia dintre ele. Atunci suma unghiurilor diedrice ale poliedrelor adiacente acestei muchii este de 360°.

Sfat 2

Arătați că unghiurile diedrice ale unui tetraedru, octaedru, icosaedru și dodecaedru sunt egale cu , , și în mod corespunzător.

Sfat 3

Arătați că spațiul poate fi umplut cu tetraedre și octaedre.

Soluţie

Să ne uităm mai întâi la umplerea spațiului cu cuburi pentru a înțelege cum se realizează. Lăsa AB- marginea unuia dintre cuburi (Fig. 3.). Apoi este marginea a încă trei cuburi. Pentru ca spațiul să fie umplut fără goluri, suma unghiurilor diedrice a căror margine este AB, ar trebui să fie 2 π . Deoarece unghiul diedric al unui cub este π /2, atunci suma a patru astfel de unghiuri este exact ceea ce avem nevoie.

Astfel, pentru ca orice solid platonic să plaseze spațiul în modul specificat în enunțul problemei, este necesar ca unghiul diedric al acestui solid platonic să aibă forma 2 π /n, Unde n- un număr natural mai mare decât doi.

Acum să găsim unghiurile diedrice ale tuturor celorlalte solide platonice. Asigurându-vă că niciunul dintre ele nu poate fi reprezentat ca 2 π /n, vom demonstra punctul a). Să începem cu tetraedrul.

Vom presupune că toate laturile tetraedrului ABCD sunt egale cu 1. Fie M- mijlocul lateral B.C., D.H.- înălțimea (Fig. 4). Atunci punctul H este centrul feței ABC, ceea ce înseamnă că se află pe segment A.M.și o împarte în raportul 2: 1, numărând din punct A. Având în vedere că A.M. = DM, rezultă că cos . Adică, unghiul diedric al tetraedrului este egal cu .

Apoi, luați în considerare octaedrul ABCDEF(Fig. 5). Ca și în cazul tetraedrului, vom presupune că lungimea fiecărei laturi a octaedrului este 1. Fie M punctul de mijloc al laturii B.F., AH.- a căzut perpendicular pe un plan BCF din punct A, H 1 și H 2 - centrele fețelor BCFȘi ADE respectiv. Apoi A.M. = CM., AHH 1 H 2 este un dreptunghi și . In afara de asta, . Prin urmare, Și . Astfel, unghiul diedric al octaedrului este egal cu .

Înainte de a trece la icosaedru și dodecaedru, ar trebui să aruncăm o privire mai atentă la pentagonul obișnuit. Lăsați un pentagon obișnuit PQRST diagonalele PSȘi QT se intersectează într-un punct K(Fig. 6). Deoarece fiecare unghi al unui pentagon regulat este 3 π /5, apoi unghiurile de la bazele triunghiurilor isoscele PSTȘi QTP egal π /5. Aceasta înseamnă că unghiurile de la bazele triunghiurilor isoscele KPQȘi KTS egal cu 2 π /5; în special, aceasta înseamnă că orice diagonală a unui pentagon obișnuit îl împarte într-un triunghi isoscel și un trapez.

Să desenăm într-un triunghi KPQ bisectoare P.M.. Atunci este ușor să vezi asta KPM = π /5 și PKM = PMK = 2π /5 . De aici concluzionăm că triunghiurile isoscele KTSȘi KPM asemănătoare. Acest fapt ne permite să exprimăm toate elementele pentagonului PQRST prin lungimea laturii sale.

Într-adevăr, pentru simplitate vom presupune că PQ= 1. Apoi SF = KQ= 1. Să notăm KT prin X. Apoi PK = P.M. = MQ = X, K.M. = 1 – X. Prin urmare, . Transformând această egalitate, obținem relația X 2 + X– 1 = 0, de unde găsim .

Acum este ușor să găsești diferite elemente. Deci, pentru noi va conta că lungimea diagonalei unui pentagon regulat cu latura 1 este . O alta punct important- valorile funcțiilor trigonometrice în puncte π /5 și 2 π /5. De exemplu,

In afara de asta, - aceasta este partea unui pentagon obișnuit, care este tăiată dacă desenăm în pentagon PQRST toate diagonalele.

Să trecem în sfârșit la icosaedru. Pentru a găsi unghiul său diedru, va fi suficient să luăm în considerare „capacul” icosaedrului - o piramidă pentagonală regulată. ABCDEF. Lăsa M- mijlocul lateral A.C.(Fig. 7). Apoi, presupunând că toate laturile piramidei sunt egale cu 1, obținem cu ușurință , . Conform teoremei cosinusului, BD 2 = B.M. 2 + DM 2 – 2 · B.M. · DM cos BMD. Mijloace,

Astfel, unghiul diedric al icosaedrului este egal cu .

Să trecem la dodecaedru. Ca și în cazul tuturor celorlalte solide platonice, vom presupune că lungimea fiecăreia dintre marginile sale este egală cu 1. Să introducem notația așa cum este indicată în Fig. 8. Fie M punctul de mijloc al laturii B.C.. Apoi unghiul necesar EMG poate fi găsit prin aplicarea teoremei cosinusului pentru un triunghi isoscel EMG. Tot ce rămâne este să găsim laturile acestui triunghi.

Laturile triunghiului EMG sunt ușor de găsit. Într-adevăr,

Pentru a găsi DE EXEMPLU., luați în considerare secțiunea dodecaedrului după plan DEG(Fig. 9). Acest avion sculptează un hexagon din dodecaedru DEKLGH, care DE = KL = G.H.= 1 și HD = E.K. = G.L.= (ca diagonala unui pentagon regulat cu latura 1). Din considerente de simetrie este clar că hexagonul DEKLGHînscris într-un cerc, și DEG = EGH = KHG = π /3. Urmează că linii drepte DEȘi H.K. sunt paralele, iar triunghiul H.G.I., Unde eu- punctul de intersecție DE EXEMPLU.Și KH, echilateral. Mijloace, G.I. = G.H.= 1, a EI = D.H.= . Astfel, primim DE EXEMPLU. = G.I. + EI = .

Să revenim la unghiul diedru al dodecaedrului. După cum rezultă din teorema cosinusului pentru un triunghi EMG, EG 2 = EM 2 + GM 2– 2 · E.M. · GM cos EMG. Mijloace,

Astfel, unghiul diedric al dodecaedrului este egal cu .

Acum putem începe să analizăm rezultatele obținute. După cum am spus deja la început, pentru ca copiile unui anumit solid platonic să umple întregul spațiu fără urmă, este necesar ca unghiul diedric al acestui solid platonic să aibă forma 2 π /n. Valorile cosinusurilor unghiurilor de acest tip, corespunzătoare valorilor n= 2, 3, 4, 5, 6 sunt:

Întrucât pe interval funcția cos X scade monoton, apoi pentru a compara unghiurile este suficient să comparăm valorile cosinusurilor lor între ele. Hai să o facem.

Unghiul diedric al unui tetraedru este . Următoarele inegalități sunt valabile pentru cosinus:< 1/3 < 1/2. Значит, 2π /5 > > 2π /6.

Unghiul diedric al octaedrului este . Următoarele inegalități sunt valabile pentru cosinus: –1/2< –1/3 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.

Unghiul diedric al icosaedrului este egal cu . Următoarele inegalități sunt valabile pentru cosinus: –1< –√5/3 < –1/2. Значит, 2π /2 > > 2π /3.

Unghiul diedru al unui dodecaedru este . Următoarele inegalități sunt valabile pentru cosinus: –1/2< –1/√5 < 0. Значит, 2π /3 > > 2π /4.

Astfel, unghiurile diedrice ale niciunui solid platonic, cu excepția cubului, sunt unghiuri de tip 2 π /n. Punctul a) a fost dovedit.

Să trecem la punctul b) al problemei. Luați în considerare octaedre egale ABCDEFȘi PQRCBS, care au o muchie comună BC. Apoi, dacă coastele B.C., DEȘi QR se află în același plan, apoi distanța dintre vârfuri AȘi P egală cu distanța dintre centrele octaedrelor (Fig. 10). Cu toate acestea, acesta din urmă este egal cu lungimea marginii octaedrului. Deci, într-un tetraedru ABCP toate părțile sunt egale, iar el are dreptate.

Această considerație ne permite să umplem spațiul cu tetraedre și octaedre în modul necesar. Mai întâi, le împăturim într-o țeavă tetraedrică (Fig. 11). Această țeavă în secțiune transversală dă un romb. Cu toate acestea, putem acoperi un plan cu copii ale oricărui patrulater (și cu atât mai mult un romb) fără goluri sau suprapuneri (vezi problema „Planturi”). Prin urmare, întregul spațiu este ușor de umplut cu astfel de țevi.

„Cercuri într-un cerc”) și bile în spațiu. În ciuda faptului că aproape toate formulările sună foarte natural, astfel de probleme sunt destul de complexe și, în majoritatea cazurilor, așteaptă să fie rezolvate.

Din punctul de vedere al altor științe, problema luată în considerare este interesantă, în primul rând, pentru că răspunsul la aceasta ne permite să prezicem care este structura cristalelor unei anumite substanțe, cum se combină diferiți atomi și molecule pentru a formează aceste cristale. Se dovedește că cristalele sunt în mare parte aranjate în mod regulat, ceea ce face posibilă descrierea uniformă a acestora folosind subgrupe de mișcări spaţiu. Legătura dintre cristale și subgrupuri de mișcări este explicată după cum urmează: pentru fiecare subgrup discret de mișcări ale spațiului, se poate selecta cea mai mare bucată de spațiu conectată, dintre care două puncte nu pot fi translatate unul în celălalt prin orice mișcare din acest subgrup. În general, pot exista multe astfel de piese; oricare dintre ei este numit domeniu fundamental subgrupe de mișcări. În cazul în care domeniul fundamental este limitat, se numește subgrupul discret de mișcări cristalografice. Acest nume explică natura legăturii: moleculele și atomii cristalelor aranjate în mod regulat pot fi adesea considerate drept regiunea fundamentală a anumitor grupuri cristalografice de mișcări.

Numărul grupelor cristalografice plate este de 17. În spațiul tridimensional există deja 219 grupări cristalografice. Într-un spațiu de dimensiunea 4, numărul de grupuri este și mai mare: 4783. Fiecare astfel de grup generează o anumită partiție a planului sau spațiului în bucăți identice. De exemplu, împărțirea unui plan în pătrate egale, ale căror laturi sunt egale cu 1 (hârtie în carouri), este generată de un grup cristalografic constând din transferuri paralele către toți vectorii posibili ai formei ( m, n), Unde mȘi n— numere întregi, precum și rotații după unghiuri π /4, π /2 și 3 π /4 în raport cu centrele și vârfurile pătratelor. Un grup cristalografic similar generează umplerea spațiului cu cuburi. Umplerea obișnuită a spațiului cu tetraedre și octaedre corespunde, de asemenea, unui grup cristalografic - constă din toate astfel de mișcări care transferă umplerea în sine. Cu toate acestea, nici octaedrul, nici tetraedrul nu vor fi regiunea sa fundamentală.

De la autor:În web design, spațiul alb se referă la zone fără text sau imagini. Putem spune că aceasta este „tăcere vizuală”. Pentru ca designul nostru să funcționeze, este necesar să combinăm corect spațiul gol cu ​​spațiul folosit.

Înainte de a începe, urmăriți videoclipul de mai jos. Rowan Atkinson: Bun venit în Iad:

Ce ai observat? Desigur, inteligența incredibilă a lui Rowan. Dar ai observat cum folosește tăcerea pentru a face oamenii să râdă? Această tehnică se numește comic timing, una dintre cele mai importante abilități pe care trebuie să le aibă un comedian de succes.

Imaginați-vă un spectacol de Rowan Atkinson fără aceste pauze. Nu foarte amuzant, pentru că tăcerea este cea care face glumă amuzantă. Această tăcere are o sarcină foarte importantă.

Același lucru se poate spune despre muzică. Deși acolo poate fi doar o pauză înainte de o creștere bruscă a ritmului și nu o tăcere completă.

Observați cum, în exemplul de mai sus, bitul „pica” la 0,45 și 1,29? Tăcerea adaugă dramă evenimentelor viitoare. Am luat piesa de dans, dar aș fi putut să iau cu ușurință a cincea simfonie a lui Beethoven.

În ambele exemple, tăcerea este un factor critic în atragerea atenției. Spațiul alb funcționează în același mod. În web design, spațiul alb se referă la zone fără text sau imagini. Putem spune că aceasta este „tăcere vizuală”. Pentru ca designul nostru să funcționeze, este necesar să combinăm corect spațiul gol cu ​​spațiul folosit.

Deși Google nu a fost întotdeauna cunoscut pentru abilitățile lor de design, ei au fost întotdeauna mari credincioși în spațiul alb, așa cum se poate vedea în pagina lor de pornire. Google și-a lansat reproiectarea atunci când paginile concurenților lor precum Yahoo! au fost pline cu prognoze meteo, știri și poștă. Interfața simplă a permis utilizatorilor să se concentreze pe sarcina principală - căutarea pe Internet, fără a fi distras de lucruri de care nu au nevoie.

Este greu să apreciezi cu adevărat cât de radicale au fost deciziile de design în ultimii 20 de ani, dar știm pe cine să căutăm în acest sens.

Două tipuri de spațiu gol

Spațiu alb activ: spațiul dintre elementele de design, adesea folosit pentru accent vizual și structură. Acesta este un tip de spațiu asimetric care face designul mai dinamic și mai activ.

Spațiu alb pasiv: spațiul dintre cuvinte pe o linie sau spațiul din jurul logo-urilor și a altor elemente grafice.

Aruncă o privire la pagina de pornire de 500 px și la modul în care folosește spațiul alb activ și pasiv.

Când lucrăm cu spațiul, ne uităm în mare parte la spațiul alb activ, dar și spațiul pasiv necesită o atenție destul de mare și la modul în care funcționează cu designul.

Două dimensiuni de spațiu gol

Microspațiu: Acest termen se referă la zone mici de spațiu liber între litere și cuvinte, precum și între mai multe elemente grafice. Configurarea corectă a unui microspațiu gol stabilește tonul general pentru întregul design fără a modifica componenta sa principală. Ceva asemănător cu ritmul din cântecele de dans. Cântecul este același, dar cumva somnoros.

Captura de ecran de mai sus arată microspațiul gol dintre butoanele Conectare și Înregistrare, precum și între titlu și paragraf.

Macro Spațiu gol: Acest termen descrie cantități mari de spațiu gol. De exemplu, spațiul dintre coloane sau paragrafe. Optimizarea spațiului macro poate face adesea o diferență dramatică pentru designul dvs., îmbunătățind potențial fluxul de atenție și ritmul pe o pagină web.

În designul lui Tumblr, spațiul macro gol este clar vizibil în subsolul și laturile goale.

Spațiu gol alb?

Termenul de spațiu alb implică o lipsă de culoare sau ton, ceea ce poate fi confuz. Spațiul alb poate fi de fapt orice culoare care reprezintă golul în designul tău - galben, albastru, verde sau chiar o textură (cum ar fi exemplul Todoist de mai jos).

Alegerea dvs. de culoare nu contează, dar nu uitați că culorile și texturile sunt mult mai plăcute la vedere decât albul puternic. Principiul rămâne același chiar dacă alegeți o culoare sau o textură diferită.

Unde și cum se utilizează spațiul alb

Elemente de spațiu alb și îndemn la acțiune (CTA).

Imaginează-ți întotdeauna că utilizatorul nu știe unde să meargă în continuare și proiectează spațiul alb în mod corespunzător. Ideea este simplă - dacă nu există nimic lângă un buton pe pagină, atunci trebuie să faceți clic pe el. În schimb, dacă pagina este aglomerată cu elemente, utilizatorul nici măcar nu va observa butonul din cauza aglomerației.

Tendințe și abordări moderne în dezvoltarea web

Aflați algoritmul crestere rapida de la zero în construirea site-ului web

După cum puteți vedea din imaginea de mai sus, al doilea element CTA este mult mai atractiv decât primul, deoarece nu este aglomerat cu alte elemente.

Utilizarea spațiului alb pentru răspunsul emoțional

Există multe modalități de a evoca emoții într-un design, inclusiv fonturi, culoare și imagini. Toate aceste tehnici ajută la adăugarea dramei, dar spațiul alb este componenta cea mai puternică și cea mai puțin costisitoare. Unii o numesc o investiție bună.

În captura de ecran de mai sus, puteți vedea cum Todoist folosește spațiul alb din jurul titlului, făcând imaginea de fundal să strălucească și să transmită o atmosferă pozitivă. Au luat și o imagine a unui tip fericit, nu a unei aplicații, ceea ce este și un mare plus.

Cum să depășești dorința de a umple golurile

Ca designeri și oameni, avem o dorință naturală de a umple spațiul gol. Când cumpărăm un dulap mare, un garaj sau o casă, nu ne ia mult să umplem acest nou spațiu.

Acest obicei se transferă adesea la design. Odată ce observăm o zonă goală în designul nostru, începem să ne gândim: „Cu ce ​​ar trebui să o umplem?” Acest tip de gândire poate cauza probleme designerilor.

Nu vă umpleți designul cu elemente, încercați să plasați un buton CTA în centru și să creați o „zonă sigură” (spațiu alb) în jurul lui. Amintiți-vă că spațiul gol nu este spațiu pierdut.

Cine folosește bine spațiul alb?

De-a lungul istoriei sale, Volkswagen a fost un maestru în utilizarea spațiului alb în reclamele în reviste. Încă de la început, machetele lor simple, dar dinamice, s-au remarcat printre reclamele statice din reviste.

Spațiul macro este clar vizibil deasupra și dedesubtul mașinii, ceea ce pune mașina în centrul atenției. Asimetria spațiului gol ne obligă să ne mișcăm ochii în jurul mașinii, în jos până la text și înapoi. Ochii nu stau pe loc. Dacă tăiem puțin anunțul VW?

mașina pare mai puțin impresionantă;

privirea nu mai flutură atât de ușor peste aspect;

Este mai greu să prezinți o poveste despre un bărbat care a leșinat.

După cum puteți vedea în imaginile de mai jos, din anii 1960 până astăzi Volkswagen a folosit spațiul gol cu ​​mare efect.

În comparație cu Volkswagen, Apple este un nou venit, dar s-a dovedit deja a fi un mare susținător al designului spațiilor albe - de la site-ul lor web, produse, până la faimosul design și arhitectura magazinului Apple.

Concluzie

Am învățat că spațiul alb nu este alb și, de asemenea, că este un loc în design în care nu se întâmplă nimic. Un principiu extrem de important în design de care designerii nu ar trebui să-l uite. Este spațiul alb care decide dacă o pagină poate fi lucrată sau nu și dacă orice element necesită o atenție suplimentară.

Am aflat că spațiul alb este de două tipuri (activ și pasiv) și de două dimensiuni (micro și macro). Ne-am uitat la un exemplu de echivalent al spațiului alb în comedie (timing comic), cum îi face pe oameni să râdă și, de asemenea, am analizat un exemplu de spațiu alb în muzică.

În cele din urmă, în calitate de designer, aș dori să adaug „mai puțin este mai mult”. Începe de la asta în munca ta. Spațiul alb poate face sau sparge un design. Sper că aceste idei vă vor ajuta cu următorul design.