Теоретическая часть 1.2.3 закон ньютона. Первый закон Ньютона

Зако́ны Ньюто́на - три закона, лежащие в основе классической механики и позволяющие записать уравнения движения для любой механической системы, если известны силовые взаимодействия для составляющих её тел. Впервые в полной мере сформулированы Исааком Ньютоном в книге «Математические начала натуральной философии» (1687 год)

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчета. Поэтому он также известен как Закон инерции . Инерция — это явление сохранения телом скорости движения (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают инертностью. Инертность - это свойство тел сопротивляться изменению их скорости. Величина инертности характеризуется массой тела.

Современная формулировка

В современной физике первый закон Ньютона принято формулировать в следующем виде:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.

Закон верен также в ситуации, когда внешние воздействия присутствуют, но взаимно компенсируются (это следует из 2-го закона Ньютона, так как скомпенсированные силы сообщают телу нулевое суммарное ускорение).

Историческая формулировка

Ньютон в своей книге «Математические начала натуральной философии» сформулировал первый закон механики в следующем виде:

Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

С современной точки зрения, такая формулировка неудовлетворительна. Во-первых, термин «тело» следует заменить термином «материальная точка», так как тело конечных размеров в отсутствие внешних сил может совершать и вращательное движение. Во-вторых, и это главное, Ньютон в своём труде опирался на существование абсолютной неподвижной системы отсчёта, то есть абсолютного пространства и времени, а это представление современная физика отвергает. С другой стороны, в произвольной (скажем, вращающейся) системе отсчёта закон инерции неверен. Поэтому ньютоновская формулировка нуждается в уточнениях.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона - дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами.

Современная формулировка

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

где — ускорение материальной точки;
— сила, приложенная к материальной точке;
— масса материальной точки.

Второй закон Ньютона может быть также сформулирован в эквивалентной форме с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил.

где — импульс точки, — её скорость, а — время. При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени

Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила .

Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон Ньютона записывается в виде:

или, в случае если силы не зависят от времени,

Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности.

Нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Историческая формулировка

Исходная формулировка Ньютона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Третий закон Ньютона

Этот закон объясняет, что происходит с двумя материальными точками. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой , а вторая — на первую с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Подчеркнём, что эти силы приложены к разным материальным точкам, а потому вовсе не компенсируются.

Современная формулировка

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

Закон отражает принцип парного взаимодействия.

Историческая формулировка

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел друг на друга равны и направлены в противоположные стороны.

Для силы Лоренца третий закон Ньютона не выполняется. Лишь переформулировав его как закон сохранения импульса в замкнутой системе из частиц и электромагнитного поля, можно восстановить его справедливость.

Выводы

Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса . Далее, если потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел , то возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:

Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены уравнения движения механических систем. Однако не все законы механики можно вывести из законов Ньютона. Например, закон всемирного тяготения или закон Гука не являются следствиями трёх законов Ньютона.

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исклю­чительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщени­ем результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной про­верке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона :всякая мате­риальная точка (тело) сохраняет состоя­ние покоя или равномерного прямолиней­ного движения до тех пор, пока воздейст­вие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. По­этому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсче­та. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами от­счета. Инерциальной системой отсчета яв­ляется такая система, которая либо по­коится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой-то другой инерциальной системы. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Опытным путем установлено, что инерциальной можно считать гелиоцентрическую (звездную) систему отсчета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в направлении определенных звезд). Система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна, однако эффекты, обусловлен­ные ее неинерциальностью (Земля враща­ется вокруг собственной оси и вокруг Со­лнца), при решении многих задач прене­брежимо малы, и в этих случаях ее можно считать инерциальной.

Из опыта известно, что при одинако­вых воздействиях различные тела неоди­наково изменяют скорость своего движе­ния, т. е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его мас­сы).

Масса тела - физическая величина, являющаяся одной из основных характе­ристик материи, определяющая ее инерци­онные (инертная масса ) и гравитацион­ные (гравитационная масса )свойства. В настоящее время можно считать дока­занным, что инертная и гравитационная массы равны друг другу (с точностью, не меньшей 10 -12 их значения).

Для описания воздействия одного тела на другое вводится понятие силы. Сила – это векторная величина, которая является мерой воздействия на тело других тел или полей, в результате которого тело приобретают ускорения или изменяют форму и размеры (т.е. деформируется). Обозначается сила буквой .

2.2. Основной за­кон динамики поступательного движе­ния.

Основной за­кон динамики поступательного движе­ния отвечает на вопрос, как изменяет­ся механическое движение материальной точки (тела) под действием приложен­ных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всег­да прямо пропорционально равнодейст­вующей приложенных сил:

a ~ F (m = const). (2.1)

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно:

a ~ 1/m (F = const). (2.2)

Используя выражения (2.1) и (2.2) и учи­тывая, что сила и ускорение - величины векторные, можем записать

Соотношение (2.3) выражает второй закон Ньютона :ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорцио­нально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точ­ки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности k = 1. Тогда

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (2.4) ее можно внести под знак производной:

При переменной массе из (2.5) имеем

Векторная величина

численно равная произведению массы ма­териальной точки на ее скорость и име­ющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя (2.6) в (2.5), получим

Эта формула выражает основной за­кон динамики поступательного движе­ния:скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Единица силы в СИ - Ньютон (Н):1 Н - сила, которая массе в 1 кг сообща­ет ускорение 1 м/с 2 в направлении дейст­вия силы:

1 Н = 1 кг·м/с 2 .

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае ра­венства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение (см. (2.3)) также равно нулю. Однако первый закон Ньюто­на рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго зако­на), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсче­та, в которых только и выполняется урав­нение (2.7).

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил : если на материальную точку действует одно­временно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускоре­ния можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к су­щественному упрощению решения задач. Например, на рис. 2.1 действующая сила разложена на два компонента: тангенциальную силу (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения а τ = и a n = , а также υ= Rω , можно записать:

F τ = mа τ = m , (2.8)

F n = ma n = mυ 2 /R = mω 2 R . (2.9)

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под во втором законе Ньютона понимают результирующую силу: .

Третий закон Ньютона

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона : всякое действие мате­риальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия силы, с которы­ми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противо­положно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки:

где - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; - сила, действующая на вторую мате­риальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона позволяет осу­ществить переход от динамики отдельной материальной точки к динамике системы материальных точек. Это следует из того, что и для системы материальных точек взаимодействие сводится к силам парного взаимодействия между материальными точками.

Силы в механике

Обсуждая до сих пор силы, мы не интере­совались их происхождением. Однако в механике мы будем рассматривать раз­личные силы: трения, упругости, тяготе­ния.

А) Силы трения . Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхно­сти другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. Это можно объяснить существованием силы трения , которая препятствует скольжению соприкасаю­щихся тел друг относительно друга. Различают внешнее (сухое) и внутрен­нее (жидкое или вязкое) трение. Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающих­ся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя , если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения, качения или верчения.

Обсудим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся повер­хностей; в случае же очень гладких по­верхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

Рассмотрим лежащее на плоскости те­ло (рис. 2.2), к которому приложена горизонтальная сила . Тело придет в движе­ние лишь тогда, когда приложенная сила будет больше силы трения . Француз­ские физики Г. Амонтон и Ш. Кулон опытным путем установили следующий закон: сила трения скольжения F тр пропорциональна силе F N нормального давления, с которой одно тело действует на другое:

F тр = μ F N , (2.11)

где μ - коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Для гладких поверхностей определенную роль играет межмолекулярное притяжение. В этом случае закон трения скольжения имеет вид

F тр = μ ист (F N +Sp 0),

где p 0 - добавочное давление, обус­ловленное силами межмолекулярного при­тяжения, которые быстро уменьшаются с увеличением расстояния между частица­ми; S - площадь контакта между телами; μ ист - истинный коэффициент трения скольжения.

Трение играет большую роль в при­роде и технике. Благодаря трению движет­ся транспорт, удерживается забитый в стену гвоздь и т. д.

В некоторых случаях силы трения ока­зывают вредное действие, и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между этими повер­хностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят друг относительно друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно мень­шим внутренним трением жидкости.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т.д.).

б) Упругие силы . Под действием внешних сил возникают деформации (т. е. изменения размеров и формы) тел. Если после прекращения действия внешних сил восстанав­ливаются прежние форма и размеры тела, то дефор­мация называется упругой. Деформация имеет упругий характер в случае, если внешняя сила не превосходит определенного значения, которое назы­вается пределом упругости. При превышении этого предела деформация становится пластиче­ской. В этом случае после устранения внешних сил первоначальные форма и размеры тела полностью не восстанавливаются. В дальнейшем мы будем рассматривать только упругие деформации.

В деформированном теле возникают упругие силы, которые уравновешивают внешние силы, вызвавшие деформацию. Поясним это на примере деформации пружины. Под действием внешней силы пружина получает удлинение х , в результате чего в ней возникает упругая сила , уравновешивающая силу .

Упругие силы возникают во всей деформированной пружине. Любая часть пружины действует на другую часть с силой, равной .

Установленный экспериментально закон Гука утверждает, что при упругой деформации удлинение пружины пропорционально внешней силе. Аналитически эту закономерность принято записывать следующим образом:

Величина k называется жест­костью пружины. Из этого выражения следует, что чем больше k , тем меньшее удлинение получает пружина под действием данной силы.

Упругая сила отличается от внешней только знаком. Поэтому F упр, x = - F внеш, x и, следовательно,

Опустим для краткости индекс «упр » и напишем это соотношение в виде
F x = - kx , (2.12)

где F x - проекция упругой силы на ось х , k - жест­кость пружины, х - удлинение пружины.

в) Силы тяжести и всемирного тяготения . И. Ньютон, изучая дви­жение небесных тел, на основании законов Кеплера и основных законов динамики открыл всеобщий закон всемирного тя­готения: между любыми двумя материаль­ными точками действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек (m 1 и m 2) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними (r 2):

F = G m 1 m 2 /r 2 . (2.13)

Эта сила называется гравитационной (или силой всемирного тяготения). Силы тяго­тения всегда являются силами притяже­ния и направлены вдоль прямой, проходя­щей через взаимодействующие тела. Ко­эффициент пропорциональности G на­зывается гравитационной постоянной.

Закон всемирного тяготения установ­лен для тел, принимаемых за материальные точки, т. е. для таких тел, размеры кото­рых малы по сравнению с расстоянием между ними. Если же размеры взаимодей­ствующих тел сравнимы с расстоянием между ними, то эти тела надо разбить на точечные элементы, подсчитать силы притяжения между всеми попарно взятыми элементами, а затем гео­метрически их сложить (проинтегрировать), что является довольно сложной ма­тематической задачей.

На любое тело, расположенное вблизи Земли, действует сила тяготения F , под влиянием которой, согласно второму за­кону Ньютона, тело начнет двигаться с ускорением свободного падения g . Та­ким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m дей­ствует сила

называемая силой тяжести.

Согласно фундаментальному физиче­скому закону - обобщенному закону Га­лилея, все тела в одном и том же поле тяготения падают с одинаковым ускорени­ем. Следовательно, в данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел.

Если пренебречь суточным вращением Земли вокруг своей оси, то сила тяжести и сила гравитационного тяготения равны между собой:

F Т = mg = G mM /R 2 , (2.15)

где М - масса Земли; R - расстояние между телом и центром Земли. Эта форму­ла дана для случая, когда тело находилось вблизи поверхности Земли.

Если тело расположено на высоте h от поверхности Земли, R 0 - радиус Зем­ли, тогда

F Т = G mM / (R 0 + h ) 2 , (2.16)

т. е. сила тяжести с удалением от повер­хности Земли уменьшается.

В физике применяется также понятие веса тела. Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного паде­ния. Вес тела проявляется только в том случае, если тело движется с ускорением, отличным от , т. е. когда на тело кроме силы тяжести действуют другие силы. Со­стояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, на­зывается состоянием невесомости.

Таким образом, сила тяжести действует всегда, а вес появляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще другие силы, вследствие чего тело движется с ускорением , отлич­ным от . Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением

Три закона сэра Исаака Ньютона описывают движение массивных тел и как они взаимодействуют.

В то время как законы Ньютона могут показаться очевидными для нас сегодня, более трех веков назад они считались революционными.

Содержание:

Ньютон, пожалуй, наиболее известен своей работой по изучению гравитации и движения планет. Призванный астрономом Эдмондом Галлеем после признания того, что за несколько лет до этого он потерял доказательство эллиптических орбит, Ньютон опубликовал свои законы в 1687 году в своей оригинальной работе «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» (Математические принципы естественной философии), в которой он формализовал описание того, как массивные тела движутся под воздействием внешних сил.

Формулируя свои три закона, Ньютон упростил обращение к массивным телам, считая их математическими точками без размера или вращения. Это позволило ему игнорировать такие факторы, как трение, сопротивление воздуха, температура, свойства материала и т. д. и сосредоточиться на явлениях, которые могут быть описаны исключительно по массе, длине и времени. Следовательно, три закона не могут быть использованы для описания точности поведения больших жестких или деформируемых объектов. Однако во многих случаях они обеспечивают подходящие точные приближения.

Законы Ньютона

Законы Ньютона относятся к движению массивных тел в инерциальной системе отсчета, иногда называемой ньютоновской системой отсчета, хотя сам Ньютон никогда не описывал такую ​​систему. Инерциальную систему отсчета можно описать как трехмерную систему координат, которая либо стационарна, либо равномерно линейна, т. е. Не ускоряется и не вращается. Он обнаружил, что движение в такой инерциальной системе отсчета может быть описано тремя простыми законами.

Первый закон движения Ньютона

Гласит: Если на тело не действуют силы или их действие скомпенсировано, то данное тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Это просто означает, что вещи не могут начинать, останавливать или изменять направление самостоятельно.

Требуется сила, действующая на них извне, чтобы вызвать такое изменение. Это свойство массивных тел сопротивляться изменениям в их движении иногда называют инерцией.

В современной физике первый закон Ньютона принято формулировать в следующем виде:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальные точки, когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Второй закон движения Ньютона

Описывает, что происходит с массивным телом, когда на него воздействует внешняя сила. В нем говорится: Сила, действующая на объект, равна массе этого объекта своего ускорения. Это написано в математической форме как F = ma, где F — сила, m — масса, a — ускорение. Жирные буквы указывают, что сила и ускорение являются векторными величинами, что означает, что они имеют как величину, так и направление. Сила может быть одной силой, или это может быть векторная сумма более чем одной силы, которая является чистой силой после объединения всех сил.

Когда постоянная сила действует на массивное тело, она заставляет ее ускоряться, т. е. Изменять свою скорость с постоянной скоростью. В простейшем случае сила, приложенная к неподвижному объекту, заставляет его ускоряться в направлении силы. Однако, если объект уже находится в движении или если эта ситуация просматривается из движущейся системы отсчета, это тело может показаться ускоряющимся, замедляющим или изменяющим направление в зависимости от направления силы и направлений, в которых объект и система отсчета перемещается относительно друг друга.

В современной физике второй закон Ньютона принято формулировать в следующем виде:

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

Третий закон движения Ньютона

Гласит: Для каждого действия существует равное противодействие. Этот закон описывает то, что происходит с телом, когда оно оказывает силу на другое тело. Силы всегда встречаются парами, поэтому, когда одно тело толкает другого, второе тело отталкивается так же сильно. Например, когда вы нажимаете тележку, тележка отталкивается от вас; когда вы тянете за веревку, веревка откидывается на вас; когда сила тяжести тянет вас к земле, земля подталкивает вас и когда ракета воспламеняет свое топливо за ним, расширяющийся выхлопной газ толкается на ракете, заставляя его ускоряться.

Если один объект намного, гораздо более массивный, чем другой, особенно в случае привязки первого объекта к Земле, практически все ускорение передается второму объекту, и ускорение первого объекта можно безопасно игнорировать, Например, если вы бросили мяч на запад, вам не нужно было бы считать, что вы на самом деле заставили вращаться Землю быстрее, пока мяч находился в воздухе. Однако, если вы стоите на роликовых коньках, и вы бросили мяч для боулинга, вы начнете двигаться назад с заметной скоростью.

В современной физике третий закон Ньютона принято формулировать в следующем виде:

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

Три закона были проверены бесчисленными экспериментами за последние три столетия, и до сих пор они широко используются для описания видов предметов и скоростей, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни. Они составляют основу того, что сейчас известно как классическая механика, а именно изучение массивных объектов, которые больше, чем очень мелкие масштабы, рассматриваемые квантовой механикой, и которые движутся медленнее, чем очень высокие скорости, релятивистские механики.

1) Первый закон Ньютона : Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых свободные тела движется равномерно и прямолинейно.

Первый закон механики, или закон инерции, как его часто называют, бал, по существу, установлен еще Галилеем, но общую формулировку ему дал Ньютон.

Свободным телом – называют тело, на которое не действуют какие – либо другие тела или поля. При решении некоторых задач тело можно считать свободным, если внешние воздействия уравновешены.

Системы отсчета, в которых свободная материальная точка покоится или движется прямолинейно и равномерно, называются инерциальными системами отсчета . Прямолинейное и равномерное движение свободной материальной точки в инерциальной системе отсчета называется движением по инерции . При таком движении вектор скорости материальной точки остается постоянным ( = const ). Покой точки является частным случаем движения по инерции ( =0).

В инерциальных системах отсчета покой или равномерное движение представляет собой естественное состояние, а динамика должна объяснить изменение этого состояния (т.е. появление уско­рения тела под действием сил). Свободных тел, не подверженных воздействию со стороны других тел не существует. Однако, благо­даря убыванию всех: известных взаимодействий с увеличением рас­стояния, такое тело можно реализовать с любой требуемой, точ­ностью.

Системы отсчета, в которых свободное тело не сохраняет ско­рость движения неизменной, называются неинерциальными . Неинерциальной является система отсчета, движущаяся с ускорением отно­сительно любой инерциальной системы отсчета. В неинерциальной системе отсчета даже свободное тело может двигаться с ускорением.

Равномерное и прямолинейное движение системы отсчета не влияет на ход механических явлений, протекающих в ней. Никакие механические опыты не позволяют отличить покой инерциальной системы отсчета от ее равномерного прямолинейного движения. Для любых механических явлений все инициальные системы отсче­та оказываются равноправными. Эти утверждения выражают меха­нический принцип относительности (принцип относительности Галилея) . Принцип относительности является одним из наиболее об­щих законов природы, в специальной теории относительности он распространяется на электромагнитные и оптические явления.

2) Масса, плотность, сила.

Свойство тела сохранять свою скорость при отсутствии взаимодействия с другими телами называется инертностью. Физическая величина, являющаяся мерой инертности тела в поступательном движении, называется инертной массой . Масса тела измеряется в килограммах: . Масса характеризует также способность тела взаимодействовать с другими телами в соответствии с законом всемирного тяготения. В этих случаях масса выступает как мера гравитации и ее называют гравитационной массой .

В современной физике с высокой степенью точности доказана тождественность значений инертной и гравитационной масс данно­го тела. Поэтому говорят просто о массе тела (m).

В механике Ньютона считается, что

а) масса тела равна сумме масс всех частиц (или материальных точек), из которых оно состоит;

б) для данной совокупности тел выполняется закон сохранения массы: при любых процессах, происходящих в системе тел, ее масса остается неизменной.

Плотность однородного тела равна . Единица плотности 1 кг/м 3 .

Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей. Сила полностью определена, если заданы ее модуль, направление и точка приложения. Прямая, вдоль которой направ­лена сила, называется линией действия силы .

В результате действия силы тело изменяет скорость движения (приобретает ускорение) или деформируется. На основании этих опытных фактов производится измерение сил.

Сила является причиной возникновения не скорости, а ускорения тела. С направлением силы совпадает во всех случаях направление ускорения, но не скорости.

В задачах механики учитываются гравитационные силы (силы тяготения) и две разновидности электромагнитных сил - силы упру­гости и силы трения.

3) Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона описывает движение частицы, вызванное влиянием окружающих тел, и устанавливает связь между ускорением частицы, ее массой и силой, с которой на нее действуют эти тела:

Если на частицу с массой т окружающие тела действуют с силой , то эта частица приобретает такое ускорение , что произведение ее массы на ускорение будет равно действующей силе.

Математически второй закон Ньютона записывается в виде:

На основе этого закона устанавливается единица силы - 1 Н (нью­тон). 1 Н - это сила, с которой нужно действовать на тело массой 1 кг, чтобы сообщить ему ускорение 1 м/с 2 .

Если сила , с которой тела действуют на данную частицу, из­вестна, то записанное для этой частицы уравнение второго закона Ньютона называют ее уравнением движения.

Второй закон Ньютона часто называют основным законом дина­мики, так как именно в нем находит наиболее полное математическое выражение принцип причинности и именно он, наконец, позволяет решить основную задачу механики. Для этого нужно выяснить, какие из окружающих частицу тел оказывают на нее существенное действие, и, выразив каждое из этих действий в виде соответствующей силы, следует составить уравнение движения данной частицы. Из уравнения движения (при известной массе) находится ускорение частицы. Зная

же ускорение можно определить ее скорость, а после скорости - и положение данной частицы в любой момент времени.

Практика показывает, что решение основной задачи механики с помощью второго закона Ньютона всегда приводит к правильным результатам. Это и является экспериментальным подтверждением справедливости вто­рого закона Ньютона.

4) Третий закон Ньютона.

Третий закон Ньютона: Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулям и направлены по одной прямой в противоположные стороны.

Это означает, что если на тело А со стороны тела В действует сила , то одновременно на тело В со стороны тела А будет действовать сила , причем = - .

Используя второй закон Ньютона, можно записать:

Отсюда следует, что

т. е. отношение модулей ускорений и взаимодействующих друг с другом тел определяется обратным отношением их масс и совершенно не зависит от характера действующих между ними сил. Более массивное тело получает меньшее ускорение, а легкое - большее.

Важно понимать, что силы, о которых идет речь в третьем законе Ньютона, приложены к разным телам и поэтому они не могут уравновешивать друг друга.

5) Следствия из законов Ньютона

Законы Ньютона представляют собой систему взаимосвязанных законов, которые позволяют глубже понять сущность понятий силы и массы. Следствия из законов:

1. Сила является мерой воздействия, оказываемого на данную частицу со стороны других тел, и с увеличением расстояния до них убывает, стремясь к нулю.

Кинематика – изучает движение тел, не рассматривая причины, которые это движение обуславливает.

Мат.точка – не имеет размеров, но в мат.точке сосредоточенна масса всего тела.

Поступательное – движение при котором прямая связанная с телом остаётся || самой себе.

Кинетические ур-я движения мат.точки:

Траектория – линия описываемая мат.точкой в пространстве.

Перемещение – приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток времени.

Скорость – Быстрота движения мат.точки.

Вектором средней скорости<> называется отношение приращения радиуса-вектора точки к промежутку времени.

Мгновенная скорость – величина, равная первой производной радиуса-вектора движущейся точки по времени.

Модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени.

Компоненты равны производным от координат по времени.

Равномерное – движение при котором за равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути.

Неравномерное – движение при котором скорость меняется как по модулю так и по направлению.

Ускорение и его составляющие.

Ускорение – физ.величина, определяющая быстроту изменения скорости, как по модулю, так и по направлению.

Средним ускорением неравномерного движения в интервале времени от t до t+t называется векторная величина равная отношению изменения скорости к интервалу времениt: .Мгновенным ускорением мат.точки в момент времени t будет предел среднего ускорения. ..

определяет по модулю.

определяет по направлению.т.е. равна первой производной по времени от модуля скорости, определяя тем самым быстроту изменения скорости по модулю.

Нормальная составляющая ускорения направлена по нормали к траектории к центру её кривизны (поэтому её также называют центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих.

Если а н =?,а т =?

1. 1,2,3 Законы Ньютона.

В основе Динамики мат.точки лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона – всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит её изменить это состояние.

Инертность – стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Законы Ньютона выполняются только в инерциальной системе отсчёта .

Инерциальная система отсчёта – система, которая либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно относительно какой то другой инерциальной системы.

Масса тела – физ.величина, являющаяся одной из основных характеристик материи, определяющая её инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) св-ва.

Сила – векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона – ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки.

Импульс (кол-во движения) – векторная величина, численно равная произведению массы материальной точки на её скорость и имеющая направление скорости.

Более общая формулировка 2-го закона Н.(уравнение движения мт): скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.

Следствие из 2зН: принцип независимости действия сил: если на мт действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает мт ускорение согласно 2зН, как будто других сил не было.

Третий закон Ньютона. Всякое действие мт (тел) друг на друга, носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга мт, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки.

Импульс тела, сила. Закон сохранения импульса.

Внутренние силы – силы взаимодействия между мт механической системы.

Внешние силы – силы, с которыми на мт системы действуют внешние тела.

В механической системе тел, по 3-му закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т.е. геометрическая сумма внутренних сил равна 0.

Запишем 2зН, для каждого из n тел механической системы(мс):

…………………

Сложим эти ур-я:

Т.к. геометрическая сумма внутренних сил мс по 3зН равна 0, то:

где - импульс системы.

В случае отсутствия внешних сил(замкнутая система):

, т.е.

Это и есть закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Центр масс, движение центра масс.

Центр масс (центр инерции) системы мт называется воображаемая точка С , положение которой характеризует распределение массы этой системы.

Радиус-вектор этой точки равен:

Скорость центра масс (цм):

; , т.е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость её центра масс.

Т.к. то:, т.е.:

Закон движения центра масс: центр масс системы движется как мт, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Кинематика вращательного движения материальной точки.

Угловая скорость – векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени.

Вектор направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта.

Линейная скорость точки:

В векторном виде: , при этом модуль равен:.

Если =const, то вращение равномерное.

Период вращения (Т) – время, за которое точка совершает один полный оборот. ().

Частота вращения ( n ) – число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени. ;.

Угловое ускорение – векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени: . При ускоренном, при замедленном.

Тангенциальная составляющая ускорения:

Нормальная составляющая: .

Формулы связи линейных и угловых величин:

При :

Момент силы.

Момент силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r , проведённого из точки О в точку А приложения силы, на силу F.

Здесь - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

Модуль момента силы равен .

Момент силы относительно неподвижной оси z – скалярная величина , равная проекции на эту ось векторамомента силы, определённого относительно произвольной точки О данной осиz. Значение момента не зависит от выбора положения точки О на данной оси.

Момент инерции твёрдого тела. Теорема Штейнера.

Момент инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n мт системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси.

При непрерывном распределении масс.

Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции J C относительно параллельной оси, проходящеё через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Пусть сила F приложена к точке В. Находящейся от оси вращения на расстоянии r, -угол между направлением силы и радиус-векторомr. При повороте тела на бесконечно малый угол , точка приложения В проходит путь, и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения:

Учитывая, что , запишем:

Где -момент силы, относительно оси.

Работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идёт на увеличение его кинетической энергии:

Но ,, поэтому

Учитывая, что получим:

Этот и есть относительно неподвижной оси.

Если ось вращения совпадает с главной осью инерции, проходящей через центр масс, то: .

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса (количество движения) мт А относительно неподвижной точки О – физическая величина, определяемая векторным произведением:

где r-радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А; - импульс мт.-псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении отк.

Модуль вектора момента импульса:

Момент импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина L z , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определённого относительно произвольной точки О данной оси.

Т.к. , то момент импульса отдельной частицы:

Момент импульса твёрдого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, а т.к. , то:

Т.о. момент импульса твёрдого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем последнее уравнение: , т.е.:

это и есть уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси: Производная момента импульса твёрдого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место векторное равенство:

В замкнутой системе момент внешних сил и, откуда:L=const, это выражение и есть закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.

Работа силы. Мощность.

Энергия – универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.

Работа силы – величина, характеризующая процесс обмена энергией между взаимодействующими телами в механике.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила , которая составляет некоторый уголс направлением перемещения, торабота этой силы равна произведению проекции силы F s на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:

Элементарная работа силы на перемещенииназывается скалярная величина, равная:, где,,.

Работа силы на участке траектории от 1 до 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути:

Если на графике изображена зависимость F s от S, то работа определяется на графике площадью закрашенной фигуры.

При , то А>0

При , то А<0,

При , то А=0.

Мощность – скорость совершения работы.

Т.е. мощность равна скалярному произведению вектору силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения силы.

Кинетическая и потенциальная энергия поступательного и вращательного движения.

Кинетическая энергия механической системы – энергия механического движения этой системы. dA=dT. По 2зН , помножим наи получим:;

Отсюда:.

Кинетическая энергия системы – есть функция состояния её движения, она всегда , и зависит от выбора системы отсчёта.

Потенциальная энергия – механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Если силовое поле характеризуется тем, что работа совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории, по которой это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений, то такое поле называется потенциальным, а силы, действующие в нём – консервативными, если же работа зависит от траектории то такая сила – диссипативная .

Т.к. работа совершается за счёт убыли потенциальной энергии, то: ;;, где С – постоянная интегрирования, т.е. энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной.

Если силы консервативны, то:

- Градиент скаляра П. (также обозначается ).

Т.к. начало отсчёта выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение. (при П=-mgh’).

Найдём потенциальную энергию пружины.

Сила упругости: , по 3зН:F x =-F x упр =kx;

dA=F x dx=kxdx;.

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы, она зависит только от конфигурации системы и от её положения по отношению к внешним телам.

Кинетическая энергия вращения

Механическая энергия. Закон сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия системы – энергия механического движения и взаимодействия: Е=Т+П, т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий.

Пусть F 1 ’…F n ’ – равнодействующие внутренних консервативных сил. F 1 …F n - равнодействующие внешних консервативных сил. f 1 …f n . Запишем уравнения 2зН для этих точек:

Умножим каждое ур-е на , учтя, что.

Сложим ур-я:

Первый член левой части:

Где dT есть приращение кинетической энергии системы.

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергииdП системы.

Правая часть равенства задаёт работу вешних неконсервативных сил, действующих на систему. Т.о.:

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то:

d(Т+П)=0;Т+П=Е=const

Т.е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Закон сохранения механической энергии : в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Абсолютно упругий удар.

Удар (соударение)

Коэффициент восстановления

абсолютно неупругими , если =1 тоабсолютно упругими.

Линия удара

Центральный удар

Абсолютно упругий удар – столкновение 2-х тел, в результате которого в обоих взаимодействующих не остаётся ни каких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Законы сохранения:

m 1 v 1 +m 2 v 2 =m 1 v’ 1 +m 2 v’ 2

после преобразований:

откуда:v 1 +v 1 ’=v 2 +v 2 ’

решая последнее ур-е и предпедпоследнее найдём:

Абсолютно неупругий удар.

Удар (соударение) – столкновение 2-х или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. При ударе внешними силами можно пренебречь.

Коэффициент восстановления – отношение нормальной составляющей относительной скорости тел после и до удара.

Если для сталкивающих тел =0, то такие тела называютсяабсолютно неупругими , если =1 тоабсолютно упругими.

Линия удара – прямая проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения.

Центральный удар – такой удар, при котором тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центр масс.

Абсолютно неупругий удар – столкновении 2-х тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше, как единое целое.

Закон сохранения импульса:

Если шары двигались навстречу друг другу, то при абсолютно неупругом ударе шары движутся в сторону большего импульса.

Поле тяготения, напряжённость, потенциал.

Закон всемирного тяготения: между любыми двумя мт действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:

G – Гравитационная постоянная (G=6,67*10 -11 Hm 2 /(кг) 2)

Гравитационное взаимодействие между двумя телами осуществляется с помощью поля тяготения , или гравитационного поля. Это поле порождается телами и является формой существования материи. Основное св-во поля в том, что на всякое тело внесённое в это поле действует сила тяготения:

Вектор не завит от массы и называется напряжённостью поля тяготения.

Напряжённость поля тяготения определяется силой действующей со стороны поля на мт единичной массы, и совпадает по направлению с действующей силой, напряжённость есть силовая хар-ка поля тяготения.

Поле тяготения однородное если напряжённость во всех точках его одинакова, и центральным , если во всех точках поля векторы напряжённости направлены вдоль прямых, которые пересекаются в одной точке.

Гравитационное поле тяготения – носитель энергии.

На расстоянии R на тело действует сила:

при перемещении этого тела на расстояние dR затрачивается работа:

Знак минус появляется, т.к. сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению.

Затраченная работа в пол тяготения не зависит от траектории перемещения, т.е. илы тяготения консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Если то П 2 =0, тогда запишем:,

Потенциал поля тяготения – скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Т.о.:

Эквипотенциальные – такие поверхности, для которых потенциал постоянен.

Взаимосвязь между потенциалом и напряженностью.

Знак мину указывает на то, что вектор напряжённости направлен в сторону убывания потенциала.

Если тело находится на высоте h, то

Неинерциальная система отсчёта. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

Неинерциальная – система отсчёта, движущаяся относительно инерциальной системы отсчёта с ускорением.

Законы Н можно применять в неинерциальной системе отсчёта, если учесть силы инерции. Силы инерции при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение, каким оно обладает в неинерциальных системах отсчёта, т.е.:

Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчёта.

Т.е. угол отклонения нити от вертикали равен:

Относительно системы отсчёта, связанной с тележкой шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F ин, т.е.:

Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчёта.

Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске на разных расстояниях от оси вращения установлены маятники (на нитях подвешены шарики). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол.

В инерциальной системе отсчёта, связанной с помещением, на шарик действует сила, равная , и направлена перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжестии силы натяжения нити:

Когда движение шарика установится, то:

т.е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние R от шарика до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения .

Относительно системы отсчёта, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой.

Сила , называемаяцентробежной силой инерции , направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна:.

Гидростатическое давление, закон Архимеда, закон неразрывности струи.

Гидроаэромеханика – раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми ими твёрдыми телами.

Несжимаемая жидкость – жидкость, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.

Давление – физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей о стороны жидкости на единицу площади:

Закон Паскаля – давление в любом месте покоящейся жидкости одинаково по всем направлениям, причём давление одинаково передаётся по всему объёму, занятому покоящейся жидкости.

Если жидкость не сжимаема, то при поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности вес:

А давление на нижнее основание:,т.е. давление изменяется линейно с высотой. Давлениеназываетсягидростатическим давлением .

Из этого следует, что давление на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, значит на тело, погружённое в жидкость действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело погружённое в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости:,

Течение – движение жидкости.Поток – совокупность частиц движущейся жидкости.Линии тока – графическое изображение движения жидкости.

Течение жидкости установившееся (стационарно) , если форма расположения линий тока, а так же значения скоростей в каждой её точке со временем не изменяются.

За 1с через сечение S 1 пройдёт объём жидкости равный , а черезS 2 - , здесь предполагается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость не сжимаема, то через оба сечения пройдёт равный объём:

Это и есть уравнение неразрывности струи для несжимаемой жидкости.

Закон Бернулли.

Жидкость идеальна, движение стационарно.

За малый промежуток времени жидкость перемещается от сеченийS 1 и S 2 к сечениям S’ 1 и S’ 2 .

По закону сохранения энергии изменение полной энергии идеальной несжимаемой жидкости равно работе внешних сил по перемещению массы жидкости:,

где Е 1 и Е 2 – полные энергии жидкости массой m в местах сечений S 1 и S 2 соответственно.

С другой стороны А – это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключённой между сечениями S 1 и S 2 , за рассматриваемый промежуток времени . Для переноса массыm от S 1 до S’ 1 жидкость должна переместится на расстояние и отS 2 до S’ 2 на расстояние .,гдеF 1 =p 1 S 1 и F 2 =-p 2 S 2 .